课后提升练(10) 等比数列前n项和的应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(十)　等比数列前n项和的应用 [对应学生用书P98] 1．数列{n·2n}的前n项和等于(　　) A．n·2n－2n＋2 B．n·2n＋1－2n＋1＋2 C．n·2n＋1－2n D．n·2n＋1－2n＋1 B　解析：设{n·2n}的前n项和为Sn，则Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，① 所以2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，② ①－②得，－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1，所以Sn＝n·2n＋1－2n＋1＋2.故选B． 2．如图，已知△ABC的面积为4，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2 020个三角形面积为(　　) A． B． C． D． B　解析：观察图形可知后一个三角形的面积是前一个三角形面积的，设第n个三角形的面积为an，则数列{an}是首项为a1＝4，公比为的等比数列，∴an＝4×()n－1＝()n－2，∴第2 020个三角形的面积为a2 020＝()2 018＝. 3．已知f(x)＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，则f()＝________． 2－　解析：∵f()＝＋2×＋3×＋…＋n×，① ∴f()＝＋2×＋3×＋…＋n×.② 由①－②得，f()＝＋＋＋…＋－＝1－－， ∴f()＝2－－＝2－. 4．(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (1)求{an}的公比； (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和． 解：(1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3， 即2a1＝a1q＋a1q2. 所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2. 故{an}的公比为－2. (2)记Sn为{nan}的前n项和． 由(1)及题设可得an＝(－2)n－1， 所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1， －2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n. 所以3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n＝－n×(－2)n. 所以Sn＝－. 5．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2018年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式； (2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2018年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35) 解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a·0.9n－1(n≥1). (2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910). ∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，即a≤≈12.3， 故2018年最多出口12.3吨． 6．某工厂2022年初有资金1 000万元，资金年平均增长率可达到20%，但每年年底要扣除x(x＜200)万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产． (1)以第2022年为第一年，设第n年初有资金an万元，用an和x表示an＋1，并证明数列{an－5x}为等比数列； (2)为实现2032年初资金翻两番的目标，求x的最大值．(精确到万元，参考数据：1.29≈5.160，1.210≈6.192，1.211≈7.430) 解：(1)依题意，an＋1＝an·(1＋0.2)－x， 整理得an＋1－5x＝(an－5x)，＝， 又a1－5x＝1 000－5x＞0， ∴数列{an－5x}是以1 000－5x为首项，1.2为公比的等比数列． (2)由(1)知，an－5x＝(1 000－5x)·()n－1， an＝(1 000－5x)·()n－1＋5x. ∵2032年初资金翻两番． ∴a11＝(1 000－5x)·()10＋5x≥4 000，解得x≤84.4， ∴x的最大值是84. 学科网（北京）股份有限公司 $$