课后提升练(8) 等比数列的性质（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(八)　等比数列的性质 [对应学生用书P94] 1．已知{an}为等比数列，且a1a13＝，则tan (a2a12)的值为(　　) A．－ B． C．± D．－ B　解析：因为{an}为等比数列，所以a2a12＝a1a13＝，所以tan (a2a12)＝tan ＝.故选B． 2．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是(　　) A．公比为q的等比数列 B．公比为q2的等比数列 C．公比为q3的等比数列 D．不一定是等比数列 B　解析：由于＝×＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，∴{anan＋1}是以公比为q2的等比数列，故选B． 3．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，那么a5＋a6＝(　　) A．80 B．90 C．100 D．120 D　解析：由等比数列的性质可知a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6构成新的等比数列，因为a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，所以a5＋a6＝120，故选D． 4．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项等于(　　) A．－24 B．0 C．12 D．24 A　解析：由题意可知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前4项依次为－3，－6，－12，－24，故选A． 5．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为(　　) A．10n B．n10 C．100n D．n100 A　解析：设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，则(a2·a3·…·an＋1)2＝(a1·an＋2)n＝100n，∴a2·a3·…·an＋1＝10n. 6．在正项等比数列{an}中，a3(a1＋2a6)＋a＝64，则a2＋a7＝________． 8　解析：由a3(a1＋2a6)＋a＝64，得a1a3＋2a3a6＋a＝64，则a＋2a2a7＋a＝64，即(a2＋a7)2＝64，又an>0，故a2＋a7＝8. 7．等差数列{an}的公差d≠0，a1＝20，且a3，a7，a9成等比数列，则d＝________． －2　解析：由a3，a7，a9成等比数列，则a3a9＝a，即(a1＋2d)(a1＋8d)＝(a1＋6d)2，化简得2a1d＋20d2＝0，由a1＝20，d≠0，得d＝－2. 8．(2022·广东广州模拟)已知正项等比数列{an}，满足a2·a·a2 020＝16，则a1·a2·…·a1 017＝________． 21 017　解析：在正项等比数列{an}中，a2·a·a2 020＝16，因为a2·a2 020＝a，所以(a7a1 011)2＝16，即a7a1 011＝a＝4，所以a509＝2，所以a1·a2·a3·...·a1 017＝a＝21 017. 9．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数． 解：由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2， 这三个数可表示为2－d，2，2＋d， ①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)， 解得d＝6或d＝0(舍去).此时这三个数为－4，2，8. ②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)， 解得d＝－6或d＝0(舍去). 此时这三个数为8，2，－4. ③若2为等比中项，则22＝(2＋d)(2－d)，∴d＝0(舍去). 综上可得此三个数为－4，2，8或8，2，－4. 10．等比数列{an}同时满足下列三个条件：①a1＋a6＝11，②a3·a4＝，③三个数a2，a，a4＋依次成等差数列，试求数列{an}的通项公式． 解：由等比数列的性质知a1a6＝a3a4＝， 所以解得或 当时，q＝2， 所以an＝·2n－1，这时a2＋a4＋＝，2a＝， 所以a2，a，a4＋成等差数列，故an＝·2n－1. 当时，q＝，an＝·26－n，a2＋a4＋≠2a， 不符合题意，故通项公式an＝·2n－1. 11．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于(　　) A．210 B．220 C．216 D．215 B　解析：设A＝a1a4a7·…·a28，B＝a2a5a8·…·a29，C＝a3a6a9·…·a30，则A，B，C成等比数列，公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，∴C＝B·210＝220. 12．(多选)(2022·山东济南月考)已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝2n，n∈N*，则下列说法正确的是(　　) A．a4＝4 B．{a2n}是等比数列 C．a2n－a2n－1