课后提升练(7) 等比数列的定义（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(七)　等比数列的定义 [对应学生用书P92] 1．(多选)下列说法错误的是(　　) A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 ABD　解析：根据等比数列的定义可知，AB显然是错误的；对D，当b＝a＝0，c≠0时，虽有b2＝ac，但a，b，c不成等比数列；对C，根据等比数列的定义可知正确． 2．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　) A．12 B．10 C．8 D．2＋log35 B　解析：由题意可知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18， ∴a5a6＝a4a7＝9， log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2a3…a10)＝log3(a5a6)5＝log3q5＝log3310＝10. 3．在等比数列{an}中，满足2a4＝a6－a5，则公比是(　　) A．1 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2 C　解析：方法一　由已知得2a1·q3＝a1·q5－a1·q4，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2. 方法二　∵a5＝a4q，a6＝a4·q2，∴由已知条件得2a4＝a4·q2－a4·q，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2. 4．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 B　解析：∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4. 5．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 C　解析：在等比数列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.∵am＝a1qm－1＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11. 6．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________． 18　解析：由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝(＋)×32＝18. 7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________________． 80，40，20，10　解析：设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.∴这4个数依次为80，40，20，10. 8．若数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，则a5＝________． 32　解析：由题意，得＝(－)n－1(n≥2)，所以＝－，＝(－)2，＝(－)3，＝(－)4，将上面的四个式子两边分别相乘，得＝(－)1＋2＋3＋4＝32.又a1＝1，所以a5＝32. 9．对数列{an}，若点(n，an)(n∈N*)都在函数y＝cqx的图象上，其中c，q为常数，且c≠0，q≠0，q≠1，试判断数列{an}是否是等比数列，并证明你的结论． 解：由题意知，an＝cqn， 因为c≠0，q≠0，q≠1，＝＝q为定值常数，且a1＝cq， 所以数列{an}为以cq为首项，q为公比的等比数列． 10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明：因为an＋Sn＝n，所以an＋1＋Sn＋1＝n＋1， 两式相减得，an＋1－an＋an＋1＝1，整理得an＋1－1＝(an－1). 又因为cn＝an－1，所以cn＋1＝cn， 又因为a1＋a1＝1，即a1＝， 所以c1＝a1－1＝－1＝－， 所以数列{cn}是以－为首项，为公比的等比数列． (2)解：由(1)可知cn＝an－1＝(－)·＝－， 所以an＝1－. 11．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　) A．2 B．1 C． D． C　解析：方法一　∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)，∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C． 方法二　∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，解得q＝2，∴a2＝a1q＝，故选C． 12．(多选)下列选项中，不是{an}成等比数列的充要条件是(　　) A．an＋1＝anq(q为常数) B．an＝a1qn－1(q为常数) C．a＝anan＋2≠0 D．an＋1＝ ABD　解析：对