课后提升练(6) 等差数列前n项和的应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(六)　等差数列前n项和的应用 [对应学生用书P90] 1．等差数列{an}中，d＝2，S3＝－24，其前n项和Sn取最小值时，n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．5或6 D　解析：由d＝2，S3＝3a1＋3d＝－24，得a1＝－10.令an＝－10＋(n－1)×2＝0，解得n＝6，所以a6＝0.从而S5＝S6，均为最小值． 2．(多选)已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝S9，则(　　) A．a7＞0 B．S7最大 C．S14＞0 D．S13＞0 ABD　解析：因为S5＝S9，故a6＋a7＋a8＋a9＝0，所以a7＋a8＝0，因为等差数列{an}为递减数列，故公差d＜0，所以a7＞0，a8＜0，故AB正确．又S14＝7(a7＋a8)＝0，S13＝13a7＞0，故C错误，D正确． 3．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，….生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为(　　) A．71 B．72 C．89 D．90 C　解析：设这些老人的年龄形成数列{an}，设最年长者的年龄为a1，则由题可知数列{an}是公差为－1的等差数列，且S19＝1 520，则S19＝19a1＋×(－1)＝1 520，解得a1＝89.故最年长者的年龄为89. 4．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是(　　) A．24 B．48 C．60 D．84 C　解析：∵a1>0，a10·a11<0，∴d<0，a10>0，a11<0，∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60.故选C． 5．(多选)设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0且S6＝S9，则(　　) A．d＞0 B．a8＝0 C．S7或S8为Sn的最大值 D．S5＞S6 BC　解析：a1＞0且S6＝S9，∴6a1＋d＝9a1＋d，化为a1＋7d＝0，可得a8＝0，d＜0.S7或S8为Sn的最大值，S5＜S6.故选BC． 6．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为________． S5　解析：∵ ∴∴Sn的最大值为S5. 7．《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布．(不作近似计算) 　解析：设该女织布每天增加d尺，由题意知S30＝30×5＋d＝390，解得d＝.故该女子织布每天增加尺． 8．某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则第5年的维修费是________万元，前10年维修费总和为________万元． 28　300　解析：由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费成等差数列．设从第二年起，每年的维修费构成的等差数列为{an}，则an＝12＋4(n－1)＝4n＋8，所以a5＝4×5＋8＝28(万元)，S10＝10×12＋×10×9×4＝300(万元). 9．某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？ 解：设最下面一层放n根，则最多可堆n层， 则1＋2＋3＋…＋n＝≥600， 所以n2＋n－1 200≥0， 记f(n)＝n2＋n－1 200，因为当n∈N＋时，f(n)单调递增，而f(35)＝60>0，f(34)＝－10<0， 所以n≥35，因此最下面一层最少放35根． 因为1＋2＋3＋…＋35＝630， 所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28根，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层． 10．已知在等差数列{an}中，a1＝31，Sn是它的前n项和，S10＝S22. (1)求Sn； (2)这个数列前多少项的和最大，求出这个最大值． 解：(1)∵S10＝a1＋a2＋…＋a10，S22＝a1＋a2＋…＋a22， 又S10＝S22，∴a11＋a12＋…＋a22＝0，即＝0， 即a11＋a22＝2a1＋31d＝0. 又a1＝31，∴d＝－2， ∴Sn＝na1＋·d＝31n－n(n－1)＝32n－n2. (2)由(1