课后提升练(4) 等差数列的性质（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(四)　等差数列的性质 [对应学生用书P86] 1．已知等差数列{an}：1，0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0，20，40，60，…，则数列{an＋bn}是(　　) A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列 C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列 D　解析：(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19. 2．(多选)设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系正确的是(　　) A．a＝－b B．a＝3b C．a＝－3b D．a＝b＝0 AB　解析：由等差中项的定义知，x＝，x2＝，∴＝()2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b. 3．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的值为(　　) A．20 B．22 C．24 D．28 C　解析：由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝(a4＋a12)＋(a6＋a10)＋a8＝5a8＝120，解得a8＝24，且a8＋a12＝2a10，2a10－a12＝a8＝24. 4．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 B　解析：由等差数列的性质得，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8. 5．目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家农村网店从第一个月起利润就成递增等差数列，且第2个月利润为2 500元，第5个月利润为4 000元，第m个月后该网店的利润超过5 000元，则m＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．10 B　解析：设该网店从第一月起每月的利润构成等差数列{an}，则a2＝2 500，a5＝4 000.由a5＝a2＋3d，即4 000＝2 500＋3d，得d＝500.由am＝a2＋(m－2)×500＝5 000，得m＝7. 6．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是________． 3　解析：由题意知，2n＋m＝8，2m＋n＝10，两式相加得3m＋3n＝18，m＋n＝6，所以m和n的等差中项是3. 7．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，m，n∈N*，则am＋n的值为________． 0　解析：设等差数列的公差为d，则d＝＝＝－1，从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0. 8．一种游戏软件的租金，第一天6元，第二天12元，以后每天比前一天多3元，则第n(n≥2)天的租金(单位：元)an＝________． 3n＋6(n≥2)　解析：a1＝6，a2＝12，a3＝15，a4＝18，…，从第二项起，{an}才构成等差数列，且公差为3，在这个等差数列中第一项是12，而第n天的租金，是第n－1项，故an＝12＋(n－2)×3＝3n＋6(n≥2). 9．已知数列{an}为等差数列，且公差为d. (1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值； (2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d. 解：(1)等差数列{an}中，∵a15＝8，a60＝20， ∴解得 ∴a105＝＋104×＝32. (2)∵数列{an}为等差数列，且公差为d，且a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52， ∴a2＋a5＝17，a2a5＝52，∴解得a2＝4，a5＝13或a2＝13，a5＝4. ∵a5＝a2＋3d，∴13＝4＋3d或4＝13＋3d， 解得d＝3或d＝－3. 10．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km，4 km，8 km高度的气温． 解：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5， 由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5， ∴an＝15－6.5n. ∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37， 即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃. 11．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan (a2＋a12)的值为(　　) A． B．± C．－ D．－ D　解析：由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝，∴tan (a2＋a12)＝tan (2a7)＝tan ＝tan ＝－. 12．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄…”其大意为：有一