单元素养强化练(九) 解三角形（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版2019）

单元素养强化练(九)　解三角形 [对应学生用书P165] 1．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin ∠CED＝(　　) A．　　　　　　 B． C． D． B　解析：依题意，在△DEC中，DC＝1，EC＝ ＝，∠CDE＝45°＋90°＝135°. 由正弦定理得＝，在△CDE中， ∴sin ∠CED＝＝＝. 2．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则A等于(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．π B　解析：由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得(b＋c)2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，又cos A＝＝，又A为△ABC的内角，∴A＝. 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积为(　　) A．3 B． C． D．3 C　解析：由c2＝(a－b)2＋6，得c2＝a2＋b2－2ab＋6，又c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab， ∴6－2ab＝－ab，∴ab＝6，∴S△ABC＝ab sin C＝×6×＝. 4．设△ABC的三条边分别为a、b、c，三角形面积为S＝，则∠C为(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． C　解析：因为△ABC的三条边分别为a、b、c，三角形面积为S＝， 所以ab sin C＝，整理得tan C＝1. 由于0＜C＜π，所以C＝. 5．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是(　　) A． km B． km C． km D． km B　解析：如图，设行驶15分钟后，甲行驶到点M，乙行驶到点N，由题意知AM＝8×＝2，BN＝12×＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理得 MN2＝MB2＋BN2－2MB·BN cos 120° ＝1＋9－2×1×3×(－)＝13，所以MN＝ km. 6．在△ABC中，已知b＝，c＝1，B＝45°，则角C＝________． 30°　解析：由正弦定理得＝，∴sin C＝＝＝，又c<b，∴C＝30°. 7．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________． 　解析：∵b sin A＋a cos B＝0，∴＝.由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1.又B∈(0，π)， ∴B＝. 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＝bc，且sin C＝2sin B，则角A＝________． 　解析：由正弦定理及sin C＝2sin B得c＝2b， ∵a2－b2＝bc，∴a2－b2＝b×2b，即a2＝7b2， 由余弦定理得cos A＝＝＝，又0<A<π， ∴A＝. 9．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________． 6　解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B. 又∵b＝6，a＝2c，B＝，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×， ∴c＝2，a＝4， ∴S△ABC＝ac sin B＝×4×2×＝6. 10．已知△ABC的面积为S，且||2＝·＋2S，则B＝________． 　解析：设AB＝c，BC＝a，AC＝b， 则∵||2＝·＋2S， ∴a2＝ab cos C＋ab sin C， 即a＝b sin C＋b cos C. 由正弦定理得sin A＝sin B sin C＋sin B cos C. 又sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， ∴sin B＝cos B， 即tan B＝1，又0＜B＜π，B＝. 11．(2021·北京卷，T16)已知在△ABC中，c＝2b cos B，C＝. (1)求B的大小； (2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度． ①c＝b；②周长为4＋2；③面积为S△ABC＝. 解：(1)由正弦定理＝，及c＝2b cos B，得sin C＝2sin B cos B＝sin 2B， 故C＝2B(舍去)或C＋2B＝π. 故B＝A＝. (2)由(1)知，c＝b，故不能选①. 若选②，设BC＝AC＝2x(x＞0)，则AB＝2x， 故周长为(4＋2)x＝4＋2，解得x＝1. 从而BC＝AC＝2，AB＝2. 设BC的中点为D，则在△ABD中，由余弦定理， cos B