第9章 解三角形 章末优化提升-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练测（人教B版2019）

◆高中数学·必修第四册(RJB) 章末优化提升 巴网络构建 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C A“sinBsinC-2RR为 inA录nB=员inC录 △ABC外接圆半径) a:bc=sin A:sin B:sin C 正弦定理 已知两角和任一边，求其他边和角 应用 已知两边及其中一边的对角，求其 他边和角（可能有两解） a'=b+c-2bccos A Cos A=bte-a b=a+e-2accos B c2=a2+8:-2abcos C cos B=a'te2-b2 正弦、余 弦定理 余弦定理 已知三边求三角 C=+b-e 2ab 应用 已知两边和它们的夹角， 求第三边和其他角 距离间题 高度问题 应用 角度问题 三角形面积公式 Soanc =absin C=bcain A acsin B 巴考点聚焦 考点一利用正、余弦定理解三角形 又sinB≠0，∴osA=-2又A∈(0，， [例1门 在①acos B- b=c:②d2-8=c6 A- 十c)这两个条件中任选一个作为已知条件， 选择②： 补充到下面的横线上并作答 由余弦定理，得 问题：在△ABC中，角A,B,C的对边分别 为a,b,c,已知 cos A-8tc-a=8te-(8+e+be) 2bc 2bc (1)求角A: 1 (2)若sinB=3sinC,a=√/13，求△ABC的 一2 周长 又A∈(0，π)，∴A=2 [解](1)选择①： 由正孩定里，得sin Acos B--号sinB= (2)由正弦定理，得b=3c,由余弦定理，得 a2=b2+c2-2bccos A, sin C, 即13=9c2+c2+3c2, sin Acos B-sin B-sin Acos B+ ∴c=1,.b=3, cos Asin B. 故周长为4十√13. 16 第九章解三角形 归纳提升川 [解] 正弦、余弦定理应用需注意的三个方面 (1)在△ABC中，由正孩定理nA (1)正弦定理和余弦定理揭示了三角形边角之间 的关系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的 1 3 统一 2 (2)统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换 sinC,得 in6o-sinC,即sinC= 及诱导公式进行变形：统一为“边”后，要注意正确利用 配方，因式分解等代数变换方法进行变形 因为a>c,所以A>C,所以0<C<爱，C (3)求值时注意方程思想的运用： 跟踪训练 1.在△ABC内，角A,B,C所对的边分别为a, (2)由余弦定理cosB=。+C-B,得 2ac b,c,bcos A-ccos B=(c-a)cos B. c=2a· a2+c2-b_a2+c2-b (1)求角B的值； 2ac 所以a2=b,即a=b. (2)若△ABC的面积为3√3，b=√13，求a 所以△ABC是等腰三角形. 十c的值. 川归纳提升川 利用正弦、余弦定理判断三角形形状的方法 (1)通过边之间的关系判断形状. (2)通过角之间的关系判断形状 合理利用正弦、余弦定理将已知条件中的边、角互 化，把条件统一为边的关暴或角的关系 ☑跟踪训练 2.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A, B,C所对的边 （I)若△ABC面积SAC- 2c=2,A= 60°，求a,b的值； (2)若a-ccos B,且b-csin A,试判断 △ABC的形状， 考点二判断三角形的形状 [例2]在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C 的对边. 已知a=1,A=60.c=9求C, (2)已知c=2 acos B,试判断△ABC的 形状 17 》高中数学·必修第四册(RJB) 考点三正、余弦定理在实际问题中的应用 川归纳提升川 一极地，求解此类问愿的关健是明确边角关系，构 [例3]如图，线段CD是某 造成选取恰当的三角形，使得边角之闯的关系归纳在 铁路线上的一条穿山隧 一个或几个三角形中，以便于求解.解题时需注意的两 个问题： 道，开凿前，在CD所在水 (1)要注意仰角，俯角、方位角、方向角等概念，并 能准确地找出（或作出）这些角. 平面上的山体外取点A,B,在四边形AB (2)要注意将平面儿何中的性质、定理与正弦、余弦 CD中，测得AB=50米，∠BAC=45°， 定理结合起来，发现愿目中的隐含条件，才能顺利解题， ∠DAC=75°，∠ABD=30°，∠DBC=75. ☑跟踪训练 (1)试求B,D之间的距离及B,C之间的 3.(2022·鄂州高一期末)鄂州十景之一“二宝 距离； 塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交会 (2)求应开凿的隧道CD的长. 处，至今四百六十多年的历史，该塔为八角 [解](1)在△DAB中，∠DAB=75°+45 五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共 线三点A,B,C处分别测塔顶的仰角为30°， =120°， ∠ADB=180°-(120°+30)=30°，AB 45,60°，且AB=BC=705米，则文星塔 9 =50, 高为 由正孩定理，得n乙DAB-sinZADB' BD AB '.BD=ABsin/DAB_50sin 120 sin∠ADB sin 30 =503米. A.20米 8米 在△ABC中，∠ABC=30°+75°=105°， C2米 D.30米 ∠BCA=180°-(45°+105)=30°，AB 考点四解三角形的综合问题 =50, [例4]已知△ABC中，角A,B,C所对的边 由正孩定理，得BC=ABsin∠BAC_50sin45 sin∠BCA sin30° 分别是a,b,c,向量m=(b+a十c,√3b),n =50√2米. (3c,b-a+c),且m∥n. (1)若tanB=2√3，求A及tanC的值： (2)在△DBC中，由余弦定理，得 (2)若△ABC为锐角三角形，且a=3,求 DC=√BD+BC-2BD·BCcos∠DBC △ABC周长的取值范围. -√(503)2+(50W2)2-2(50√3)·(502)co875 [解](1)因为m∥n,所以(b十a+c)(b-a +c)-3bc=0→b十c2-a2=bc,由余弦定 =25(√6+√2). 理可得coA=司，而0<A<,所以A 所以应开凿的隧道CD的长为25（√6+ π √2)米. 18 第九章解三角形 所以tanC=一tan(A十B)= tan A+tan B 口跟踪训练 1-tan Atan B 4.在①cosB b sin A 3+23_33 cos C 2a”+c②sinB-9inc 1-3×255 牛，③2S=-5B·BC三个条件中任选 (2)由王孩定理，得品B一C 3= 一个补充在下面的横线上，并加以解答。 2 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, 23, c,且 ,若b=2√3，求△ABC的面积S 所以b=2√3sinB,c=2W3sinC, 的最大值。 +c=2/3 sin B+sin-B =2mB+sB+血B =6sin(B+若) 因为△ABC是锐角三角形， 0<B<受， 所 0<-B< →晋<B<受，则<B +<, 所以s如(B+看)停，小所以三角移周 长a+b+c=3+6sim(B+若)e(3+35,9]. 川归纳提升川 解三角形综合问题的方法 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余 弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在 一起，要注意选择合适的方法，知识进行求解， (2)解三角形常与向量、三角语数及三角恒等变换 知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知 识“幽译”题目条件，然后极据题目条件和要求选择正 弦或余弦定理求解， 提示请完成《素能提升训练》章末检测卷一 19因为cos ACB-7+1-427 2.A 三角形中,由余弦定理可得3.5^}-1.4}十2.8}-2$ 2×v7×1 1.4X2.8xcos(n-a),解得 cos a-1.. sina= 5 sinDAC-sin_AcnB一1-(2)-. cosa 23→.故选A. 3.A 如图,由于BCD一吾,所以设BC ##### -BD-x,所以(x十1)十x*-13,解得 13 又7XCDxsin 120'-cpXADsinADC. x-2,所以CD-2+2-2/2 4.A 由余弦定理可得7-a^{十6-2abcosC -(a+b)*-3ab-16-3ab,所以ab-3.所 #$5-inco#)_3< 所以四边形ABCD的面积为SAasc+SAxco-×2X1 xsin 120*+×v7×7×-43. 章末优化提升 [跟踪训练] 【考点聚焦】[跟踪训练] 3.解(1)在圆内接四边形的△ACD中, 1.解 (1).'bcos A-ccos B-(c-a)cos B. '.由正弦定理,得sinBcosA一sin CcosB一(sinC- AD=1,AC-3,DAC-. sin A)cosB. 由余弦定理,得CD-AD+AC{-2AD·AC·cos /DAC '. sin Acos B+cos Asin B-2sin Ccos B, -1,故CD-1. '. sin(A+B)-2sin Ccos B. 又 A+B+C=x 再根据cos D-AD+CD*-AC '.sin(A+B)-sinC. 2AD.CD 2 解得D一 B- 由于四边形ABCD为圆内接四边形, 故D+B=π,所以B-. (2)据(1)求解知B-,.b-a^+c3-2accos B-^{}+ a-ac. 在△ABC中,由余弦定理,得 。 AC$=AB*+BC$-2AB·BCcosB$ 又S$-acsin B-33.v.ac-12. 即3-AB+1-AB,所以AB-2. (2)设AB-2CD-2x,在△ACD与△ABC中 又b- 13,.,据①②解得a十c-7. 分别由余弦定理,得 os DADCD-AC2. 2AD.CD 2x& cos B-ABBCAC”_2-1. 所以16·2sin 60-,得6-1. 2AB·BC 2x 又由于D+B=x,即cosD=-cosB, 由余弦定理,得a^*-b+c-2bccosA-1+2-2$1$ 解得x-1,即AB-2CD-2. 2cos 60-3,所以a-3 '.cos D-- (2)因为a一ccosB,由余弦定理,得 故So-AD·cDsin D-xix1- 2ac 在Rt△ABC中,sinA--,因为b=csinA, . S.co S+S +AB·BCsin B-3 ##3## 所以△ABC是等腰直角三角形. 【随堂巩固促应用】 3.B 如图所示, 1.C 如图所示,点Q在点P的南偏西44{55'方向上. 设建筑物的高为PO一h,则PA= sin30{-2h,PB-A h. sin 45=v2, 30A 3 得cos PBA-PB+AB-PA 60 2PB·AB , # A 化简,得acsinB--③accosB, AB-2h^{} .cos PBC-PB+BC-$C* 2PB·BC 2ABX②h 2./2h×AB' 即tanB--3.因为BE(0,). 所以B-2-。因为b-2/3 因为PBA十/PBC=n,故cos PBA十cos PBC= AB{-2h{} cos PBA+cos(π-PBA)=0,即 所以cos B-+-12_- 2ABXv2h 2ac # AB 8#_.得-AB-700 化简,得a^+c-12-ac,由基本不等式,得a+c>2ac 2/2hXAB 当且仅当a一c时,等号成立, 4.解 选①: 即12-ac>2ac,所以ac 4,此时a=c-2 cosC 理sAB-C. 得(2sinA+sin C) cos B b d C 则△ABC的面积s-acsin B<$4x3-v3,故 --sin Bcos C, △ABC的面积S的最大值为③. 化简,得 2sin Acos B一-(sin Bcos C+sin Ccos B). 综上所述,选①或②选③时,△ABC的面积S的最大值 因为 sin Bcos C+sin Ccos B-sin(B+C)-sin A, 均为③. 所以2sin Acos B--sinA. 又因为AE(0,x),所以sinA去0, 第十章 复 数 #.因为B(0,n), 化简,得cosB=一 10.1 复数及其几何意义 所以B-2-因为6-2、, 所以 cos B-+-12__ 10.1.1 复数的概念 2ac 【自主学习探新知】 化简,得a*+c-12-ac. 知识点一 1.(1)虚数单位 一1(2)a b 由基本不等式,得a{十c>2ac, 2.(1)所有复数 当且仅当ac时,等号成立,即12一ac→2ac; 微练习 1.A -5+2i的虚部为2,i+2^--2+i,其实 部为一2,故所求复数为2-2i. 知识点二 1.实数 虚数 a-0 a≠0 微练习 故△ABC的面积S的最大值为③. 选②: 2.C #21.(1-3)i是纯虚数,2十7,0,0. 618是实数, sinA btc sin B-sinCa+c' 8十5i是虚数. 进 b+c 知识点三 a-c且b-d 由正弦定理b 微练习 即a(a十c)-(b十c)(b一c). 3.B 由i=-1,得xi--1+xi,则由题意,得1+x 化简,得a+c-b-ac。 一y十2i,根据复数相等的充要条件,得工一2,y-1,故 因为b-2③,所以a+c^2-12-ac. x+yi-2+i. 由基本不等式,得a*十c二2ac, 【互动探究解疑难】 当且仅当a一c时,等号成立, 探究一 即12-ac一2ac,所以ac<4. [例1] [解] ①的实部为2,虚部为3,是虚数;②的实部为 此时a-c-2.又因为 cos B-”+-6 一3,虚部为,是虚数;③的实部为\2,虚部为1,是虚数; 2ac ④的实部为n,虚部为0,是实数;的实部为0,虚部为 一3,是纯虚数;的实部为0,虚部为0,是实数 [跟踪训练] 1.BCD 对于A,当a-0时,a十bi也可能为实数;对于B 故△ABC的面积S的最大值为3. 若a十(b-1)i-3-2i,则a-3,b--1;易知C正确;对 选③: 于D,i的平方为一1. 2S--3BA.BC. 探究二 即2Xacsin B--31BAl1BClcos B, [例2] (1)[解析] 由复数相等的充要条件可知工 -12,y-5. 其中BAl-cBC-a, [答案] -12 5