课后提升练(3) 正弦定理与余弦定理的综合（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版2019）

课后提升练(三)　正弦定理与余弦定理的综合 [对应学生用书P107] 1．在△ABC中，已知A＝45°，AB＝，BC＝2，则AC为(　　) A．　　　 B．1＋　　　 C．1±　　　 D．2＋2 B　解析：由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，即AC2－2AC－2＝0，解到AC＝1±，所以AC＝1＋. 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知C＝，a＝2，b＝3，则△ABC外接圆的半径为(　　) A． B． C． D．7 A　解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4＋9－2×2×3×＝7，∴c＝，由正弦定理＝2R，∴R＝＝. 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2a cos B＝c，则△ABC的形状一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 C　解析：解法一：由正弦定理及2a cos B＝c，得 2sin A cos B＝sin C．又A＋B＋C＝π， ∴2sin A cos B＝sin (A＋B)， ∴2sin A cos B＝sin A cos B＋cos A sin B， ∴sin A cos B－cos A sin B＝0， ∴sin (A－B)＝0，又－π<A－B<π， ∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC为等腰三角形． 解法二：由余弦定理及2a cos B＝c得2a·＝c， ∴a2－b2＝0，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形． 4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝a，则＝(　　) A．2 B．2 C． D． D　解析：由a sinA sin B＋b cos2A＝a，得sin2A sinB＋sin B cos2A＝sinA，即sin B＝sin A，∴＝. 5．(多选题)在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为(　　) A． B． C． D． AB　解析：由正弦定理，得sin C＝＝，∵B＝30°， ∴0°＜C＜150°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，S△ABC＝bc sin A＝； 当C＝120°时，S△ABC＝bc sin A＝. 6．已知△ABC的面积S＝，A＝，则·＝________． 2　解析：S＝||||sin A， 即||||sin ＝， 故||||＝4， ·＝||||cos A＝4cos ＝2. 7．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c.a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝________． 　解析：由正弦定理得＝，∴sin B＝＝＝. ∵a>b，A＝60°，∴B为锐角，∴cos B＝＝＝. 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________． 8　解析：因为cos A＝－，0<A<π， 所以sin A＝＝. 由3＝bc sinA得bc＝24. 又因为b－c＝2，所以b＝6，c＝4. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝36＋16＋12＝64.故a＝8. 9．已知在△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，△ABC的面积为S，若cos B＝，a＝2，________，求b的值． 在①4S＝3b cos C，②b2＋c2＝4－bc，③b sin A＝，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中的横线上进行求解． 解：由已知及正弦定理得cos B＝，即2sin B cos B＝sin C，即sin C＝sin 2B， 故C＝2B或C＋2B＝π，即C＝2B或A＝B. 若选①：由4S＝3b cos C，得4××2b sin C＝3b cos C， 所以tan C＝，则sin C＝，cos C＝. 若C＝2B，则1－2sin2B＝， 解得sinB＝， 所以cos B＝＝， 所以sinA＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C ＝×＋×＝， 由＝，得b＝＝2××＝； 若A＝B，则b＝a＝2.综上，b＝或2. 若选②：根据余弦定理知cos A＝＝－， 故A＝135°， 若C＝2B，故B＝15°. 所以sin 15°＝sin (45°－30°)＝×－×＝， 由＝，得b＝＝2××＝－1； 若A＝B，不符合题意； 综上，b＝－1. 若选③：由＝，得b sin A＝a sin B，则2sin B＝，解得sin B＝，故cos B＝. 若C＝2B，则cos C＝1－2sin2B＝，所以sinC＝＝， 所以sinA＝sin (B＋C)＝×＋×＝， 由正弦定理得b＝＝2××