课后提升练(2) 余弦定理（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版2019）

课后提升练(二)　余弦定理 [对应学生用书P105] 1．在△ABC中，已知a＝2，b＝9，C＝150°，则c＝(　　) A．7　　　 B．8　　　 C．　　　 D．10 A　解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12＋81－2×2×9×(－)＝147.∴c＝＝7. 2．在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° C　解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A， ∴cos A＝＝＝， 又A为△ABC的内角，∴A＝60°. 3．在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 A　解析：由正弦定理及sin2A＋sin2B<sin2C得a2＋b2<c2.∴a2＋b2－c2<0.由余弦定理得cosC＝<0，又C为三角形的内角，∴<C<π， ∴△ABC为钝角三角形． 4．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B等于(　　) A．1 B． C．2 D．4 C　解析：b cos C＋c cos B＝b·＋c·＝＝a＝2. 5．下列结论中，正确的有(　　) A．若a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形 B．若a2＝b2＋c2＋bc，则A为60° C．若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形 D．若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3 A　解析：∵b2＋c2<a2，知cos A＝<0，∴A为钝角，故A正确；由a2＝b2＋c2＋bc知，cos A＝＝－，∵0°<A<180°，∴A＝120°，故B不正确；由a2＋b2>c2知C为锐角，但△ABC的形状并不确定，故C不正确；∵A∶B∶C＝1∶2∶3，∴A＝30°，B＝60°，C＝90°，∴a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶2，故D不正确． 6．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝______． 120°　解析：∵(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)， ∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cos A＝＝－， 又A为△ABC的内角，∴A＝120°. 7．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A，则cos (B＋C)＝________． －　解析：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ∵sin C＝2sin A知AB＝2BC＝2， 由余弦定理知cos A＝＝＝， 又A＋B＋C＝π，∴cos (B＋C)＝－cos A＝－. 8．在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝，则a＝____________，sin B＝____________． 1　　解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝12＋()2－2×1×cos ＝1，所以a＝1，所以a＝b，所以A＝B＝，所以sin B＝. 9．已知在△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC各角的度数． 解：∵a∶b∶c＝2∶∶(＋1)， ∴令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0). 由余弦定理有 cos A＝＝＝， ∵0°<A<180°，∴A＝45°. cos B＝＝＝， ∵0°<B<180°，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°. ∴A＝45°，B＝60°，C＝75°. 10．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝，a＝4，b＋c＝6，且b＜c，求b，c的值． 解：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得 16＝(b＋c)2－2bc－bc，∴bc＝8. 又b＋c＝6，b＜c，解方程组 得或(舍去).∴b＝2，c＝4. 11．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin ∠BAC＝(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． C　解析：在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝()2＋32－2××3×＝5， 解得AC＝或AC＝－(舍去)，再由正弦定理得sin ∠BAC＝＝＝. 12．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos ∠BAC＝(　　) A． B． C．－ D．－ C　解析：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意得BD＝AD＝BC，∴CD＝BC，AB＝BC，AC＝BC，由余弦定理得cos ∠BAC＝＝－. 13．(多选题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的大小为(　　) A． B． C． D． BD　解析：∵(a2＋c2－b2)tan B＝ac， ∴tan