课后提升练(1) 正弦定理（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版2019）

课后提升练(一)　正弦定理 [对应学生用书P103] 1．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　) A．75°　　　 B．60°　　 　 C．45°　 　　 D．30° B　解析：由三角形的面积公式及题设可得3＝×4×3×sin C，∴sin C＝， ∵△ABC为锐角三角形，∴C＝60°. 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A． B． C．2 D．3 D　解析：由cos A＝得sin A＝， 由正弦定理得sin C＝＝＝. 由a>c得A>C，∴cos C＝. ∴sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos Asin C＝1， 由正弦定理得b＝，∴b＝3. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若3a＝2b，则的值为(　　) A．－ B． C．1 D． D　解析：由正弦定理可得＝＝， ∴sin B＝sin A， 将其代入所求式子中，得 ＝＝. 4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cosC＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 B　解析：由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，得sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A， ∵sinA≠0，∴sin A＝1，又0＜A＜π，即A＝. ∴△ABC为直角三角形． 5．(多选题)已知△ABC中，||＝2，||＝3，且△ABC的面积为，则∠BAC＝(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° AD　解析：由已知得＝||×||sin ∠BAC ＝×2×3sin ∠BAC， ∴sin ∠BAC＝.又0°＜∠BAC＜180°， ∴∠BAC＝30°或150°. 6．在△ABC中，若a＝2，cos A＝，cos B＝－，则b＝________． 　解析：∵cos A＝，∴sin A＝ ＝. ∵cosB＝－，∴sin B＝ ＝. 由正弦定理＝，得b＝＝＝. 7．在△ABC中，若C＝2B，则的取值范围为________． (1，2)　解析：因为A＋B＋C＝π，C＝2B， 所以A＝π－3B>0，所以0<B<，所以<cos B<1. 因为＝＝＝2cos B， 所以1<2cos B<2，故1<<2. 8．在△ABC中，a＝5，B＝135°，C＝15°，则此三角形的最大边长为________，外接圆半径为________． 5　5　解析：因为B为钝角，所以B为最大角，b为最大边．由三角形内角和定理得A＝180°－135°－15°＝30°，由正弦定理＝，得b＝＝＝5.由2R＝＝10，得R＝5. 9．在△ABC中，已知AB＝10，A＝45°，在BC边的长分别为20，，5的情况下，求相应的角C. 解：由正弦定理，得sin C＝＝. (1)当BC＝20时，sin C＝，∵BC>AB，∴A>C，∴C＝30°； (2)当BC＝时，sin C＝. ∵AB·sin 45°<BC<AB，∴C有两解，∴C＝60°或120°； (3)当BC＝5时，sin C＝2>1，∴C不存在． 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 a cos C＋ c＝b. (1)求角A的大小； (2)若a＝1，b＝，求c的值． 解：(1)由a cos C＋c＝b和正弦定理，得sin A cos C＋sin C＝sin B. ∵sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C， ∴sin C＝cos A sin C，∵sin C≠0，∴cos A＝. ∵0＜A＜π，∴A＝. (2)由正弦定理及(1)，得sin B＝＝＝. ∴B＝或.①当B＝时，由A＝，得C＝， ∴c＝2.②当B＝时，由A＝，得C＝. ∴c＝a＝1.综上可得，c＝1或c＝2. 11．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若A∶B＝1∶2，且a∶b＝1∶，则cos 2B的值是(　　) A．－ B． C．－ D． A　解析：依题意，∵a∶b＝1∶， ∴sin A∶sin B＝1∶， 又A∶B＝1∶2，即＝，则cos A＝，∴A＝30°，B＝60°，cos 2B＝－. 12．在△ABC中，若a cos C＝c cos A，则△ABC的形状一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 C　解析：∵a cos C＝c cos A， ∴由正弦定理知sin A cos C＝cos