课后提升练(15) 祖暅 原理与几何体的体积（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版2019）

课后提升练(十五)　祖原理与几何体的体积 [对应学生用书P141] 1．圆锥的高扩大为原来的2倍，底面半径缩短为原来的，则圆锥的体积(　　) A．缩小到原来的一半　　　 B．扩大到原来的2倍 C．不变 D．缩小到原来的 A　解析：∵V锥＝π×(r)2×2h＝πr2h＝(πr2h)＝V.∴圆锥的体积缩小到原来的一半． 2．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是(　　) A．6　　　 B．3　　　 C．11　　　　 D．12 A　解析：设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6. 3．一个平面截一球，得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离为4 cm，则该球的体积为(　　) A． cm3 B． cm3 C． cm3 D．π cm3 C　解析：由球的性质可知，球的半径R＝＝5 (cm)， ∴V球＝πR3＝ (cm3). 4．一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3，4，5，则它的外接球的表面积是(　　) A．20π B．25π C．50π D．200π C　解析：设三棱锥的外接球半径为r，如图将三棱锥补成长方体，则有(2r)2＝32＋42 ＋52＝50，即 4r2＝50，故它的外接球的表面积S＝4πr2＝50π. 5．(多选题)已知四棱台ABCD­A1B1C1D1的上、下底面均为正方形，其中AB＝2，A1B1＝，AA1＝BB1＝CC1＝2，则下列叙述正确的是(　　) A．该四棱台的高为 B．AA1⊥CC1 C．该四棱台的表面积为26 D．该四棱台体积为 AD　解析：由棱台性质，画出切割前的四棱锥S­ABCD，由AB＝2，A1B1＝可知，△SA1B1与△SAB相似比为1∶2.则SA＝2AA1＝4，设底面ABCD的对角线交于点O，底面A1B1C1D1的对角线交于点O1，AO＝2，则SO＝2，则OO1＝，该四棱台的高为，故A正确； 因为SA＝SC＝AC＝4，则AA1与CC1夹角为60°，不垂直，故B错误； 该四棱台的表面积为S＝S上底＋S下底＋S侧＝2＋8＋4××＝10＋6，故C错误； V＝h(S＋＋S′)＝××(8＋4＋2)＝，故D正确． 6．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________． 　解析：设底面半径为r，则πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为. 7．如图，三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，AA1＝3.则这个三棱柱的体积为________． 　解析：由题意可知，S△ABC＝×3×＝.故这个三棱柱的体积为×3＝. 8．如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，截去一个三棱锥D1­ADC，则剩余部分的体积为________，点D到平面ACD1的距离为________． a3　a　解析：∵ABCD­A1B1C1D1为正方体， ∴VABCD­A1B1C1D＝a3. 由题意可知，D1D为三棱锥D1­DAC的高， ∴V三棱锥D1­ADC＝××a2×a＝a3. ∴剩余部分的体积V＝a3－a3＝a3. ∵正方体的棱长为a， ∴AC＝AD1＝CD1＝＝a， ∴S△ACD1＝(a)2sin 60°＝a2， 又V三棱锥D1­ADC＝V三棱锥D­ACD1，∴a3＝S△ACD1h， ∴h＝＝a， ∴点D到平面ACD1的距离为a. 9．如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的体积． 解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，体积为V， 则如图所示R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2. 易知△AEB∽△AOC， ∴＝，即＝， ∴r＝1，∴V＝πr2·＝π. 10．已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积． 解：如图所示，在三棱台ABC­A′B′C′中，O′、O分别为上、下底面的中心，D、D′分别是BC、B′C′的中心，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高， ∴S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′. 又A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S上＋S下＝×(202＋302)＝325 (cm2). 由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325， ∴DD′＝ (cm). 又∵O′D′＝×20＝ (cm)， OD＝×30＝5 (cm)， ∴棱台的高h＝O′O＝ ＝ ＝4 (cm)， 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V＝(S上＋S下＋) ＝×(325＋×20×30)＝1 900 (cm3). 11．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　) A．π B．2π