课后提升练(14) 旋转体（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版2019）

课后提升练(十四)　旋转体 [对应学生用书P139] 1．下列叙述中正确的个数是(　　) ①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面是圆面； ④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 B　解析：①中应以直角三角形的直角边为轴；②中应以直角梯形中的直角腰为轴；④中应用平行于底面的平面去截；③正确． 2．底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π A　解析：由圆锥的性质可知截面圆的半径为1，∴截面圆的面积S＝π. 3．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积为(　　) A．15 B．15π C．24π D．30π B　解析：S侧＝πrl＝π×3×5＝15π. 4．若圆台的高为4，母线长为5，侧面积为45π，则圆台的上、下底面的面积之和为(　　) A．9π B．36π C．45π D．81π C　解析：设圆台的上底面半径为R，下底面半径为r.由题意得π(r＋R)×5＝45π，∴r＋R＝9，又R－r＝＝＝3，得R＝6，r＝3，∴S上＋S下＝π×62＋π×32＝45π. 5．(多选题)下列命题中正确的是(　　) A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C．圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交 D．圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面 AD　解析：根据旋转体的结构特征，知A正确，C不正确，D正确，当圆锥的轴截面顶角大于90°时，其面积不是最大的．故B不正确． 6．一个体积为8 cm3的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是________． 12π (cm2)　解析：设正方体的棱长为a，则a3＝8，∴a＝2， ∴球的直径为2，∴球的表面积S＝4π×()2＝12π (cm2). 7．圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的侧面积为________． 600π　解析：设圆台的上底面周长为C，又扇环的圆心角为180°， ∴C＝π·SA, ∴SA＝＝20. 同理SB＝40，∴AB＝40－20＝20， ∴S侧＝(10＋20)×20π＝600π. 8．如图一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的底面圆的面积为________，圆锥的高为________． π　 　解析：∵圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形， ∴圆锥的母线长l＝2，底面圆的半径为r＝＝1， ∴圆锥的底面圆的面积为πr2＝π，高h＝ ＝. 9．如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，作CD⊥AB，垂足为D.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积． 解：在△ABC中，由AC＝3，BC＝4， AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC. ∴CD＝，记为r＝，那么△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r＝，母线长分别是AC＝3，BC＝4， ∴S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π. ∴所求旋转体的表面积是π. 10．已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，求这两个截面间的距离． 解：当两个截面在球心同一侧时，其轴截面如图甲．由题意知O1A＝3，O2B＝4，又OA＝OB＝5，由勾股定理得OO1＝4，OO2＝3. ∴O1O2＝1. 当两个截面在球心两侧时，其轴截面如图乙． 同理可得OO1＝4，OO2＝3， ∴O1O2＝7.∴这两个截面间的距离为1或7. 11．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积之比为(　　) A． B． C． D． A　解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π. 12．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其它两边旋转一周所得的几何体是(　　) A．两个圆锥拼接而成的组合体 B．一个圆台 C．一个圆锥 D．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥 D　解析：如图所示， 以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥． 13．若正三棱柱的所有棱长均为a，且所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．πa2 B．πa2 C．πa2 D．5πa2 B　解析：设O、O1分别为△ABC、△A1B1C1的中心，OO1的中点为D，由题意得D为球的球心， 则AO＝×a×sin 60°＝a， ∴半径R＝＝ ＝ ， ∴S球＝4πR2＝4