课后提升练(17) 倍角公式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(十七)　倍角公式 1.的值是(　　) A． B．－　　　 C．　　　　 D．－ A　解析：原式＝＝＝＝. 2．若sin ＝，cos ＝－，则角α是(　　) A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 C　解析：因为sin α＝2sin cos ＝2××(－)＝－<0，cos α＝cos2－sin2＝(－)2－()2＝－<0，所以角α是第三象限的角． 3．已知sin2α＝，则cos2(α＋)＝(　　) A． B． C． D． A　解析：cos2(α＋)＝ ＝(1－sin 2α)＝. 4．化简(1＋tan x tan )＝(　　) A．cos x B．tan x C．sin x D．sin 2x B　解析：原式＝(1＋·) ＝sin x＝sin x·＝＝tan x． 5．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　) A．－ B．－ C． D． A　解析：sin 2α＝2sin αcos α＝＝－. 6．－＋cos215°＝________． 　解析：原式＝(2cos215°－1)＝cos30°＝. 7．已知x∈(－，0)，cos x＝，求tan 2x. 解：因为x∈(－，0)，cos x＝， 所以sin x＝－，tan x＝－， 所以tan 2x＝＝－. 8．求证：(1)－＝4； (2)＝－4. 证明　(1)左边＝－ ＝ ＝＝＝4＝右边． 所以原式成立． (2)左边＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝－4＝右边． 所以原式成立． 9．已知函数f(x)＝. (1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间． 解：(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}． 因为f(x)＝＝2cos x(sin x－cos x) ＝sin 2x－cos 2x－1＝sin －1， 所以f(x)的最小正周期为π. (2)函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z). 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z). 所以f(x)的单调递增区间为和(kπ，kπ＋](k∈Z). 10．化简等于(　　) A． B．－　　　 C．－1　　　 D．1 B　解析：原式＝＝－ ＝－＝－. 11．(多选)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos 4x，若α∈(0，π)，且f(α)＝，则α的值为(　　) A． B． C． D． AC　解析：f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos 4x ＝cos 2x sin 2x＋cos 4x ＝sin 4x＋cos 4x＝sin (4x＋)， ∴f(α)＝sin (4α＋)＝，则sin (4α＋)＝1， ∴4α＋＝＋2kπ(k∈Z)，即α＝＋(k∈Z)， ∵α∈(0，π)，∴当k＝0时，α＝ ；当k＝1时，α＝ . 12．化简： (2π<α<3π)＝________. 2sin 　解析：∵2π<α<3π， ∴π< < ， < < . ∴ ＝ ＝ ＝＝2sin . 13．已知θ为锐角，cos (θ＋15°)＝，则cos (2θ－15°)＝________． 　解析：因为θ为锐角，cos (θ＋15°)＝， 所以sin (θ＋15°)＝， 所以sin (2θ＋30°)＝2sin (θ＋15°)cos (θ＋15°)＝， cos (2θ＋30°)＝2cos2(θ＋15°)－1＝2×－1＝－. 所以cos(2θ－15°)＝cos (2θ＋30°－45°) ＝cos (2θ＋30°)cos 45°＋sin (2θ＋30°)sin 45° ＝－×＋×＝. 14．已知函数f(x)＝cos (2x－)－2sin x cos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求证：当x∈时，f(x)≥－. (1)解：f(x)＝cos (2x－)－2sin x cos x ＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x ＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)， 所以T＝＝π. (2)证明　令t＝2x＋，因为－≤x≤， 所以－≤2x＋≤， 因为y＝sin t在上单调递增，在上单调递减， 所以f(x)≥sin (－)＝－，得证． 15．已知tan α＝2，cos β＝－，且α，β∈(0，π)， (1)求cos 2α的值； (2)求2α－β的值． 解：(1)因为tan α＝2， 所以cos 2α＝＝＝－. (2)由已知tanα＝2，α∈(0，π)，可得，α∈(，)， 所以2α∈(，π)，则sin 2α＝ ＝， 又cosβ＝－，且β∈(