课后提升练(16) 两角和与差的正弦、正切（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(十六)　两角和与差的正弦、正切 1．计算sin 47°cos 17°＋cos 47°cos 107°的结果等于(　　) A．－　 B．　　　　 C．　　　　 D． D　解析：sin 47°cos 17°＋cos 47°cos (90°＋17°) ＝sin 47°cos 17°＋cos 47°(－sin 17°)＝sin (47°－17°) ＝sin 30°＝. 2．已知tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，则tan αtan β等于(　　) A．2 B．1 C． D．4 C　解析：因为tan (α＋β)＝＝4， 所以1－tan αtan β＝，即tan αtan β＝. 3.cos －sin 的值为(　　) A．0 B．－ C． D．2 C　解析：cos －sin ＝2(cos cos －sin sin )＝2cos ＝. 4. (2022·新高考Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos (α＋)sin β，则(　　) A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1 C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1 C　解析：由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，所以tan (α－β)＝－1. 5．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈R)的最小正周期为________，最大值为________． 2π　2　解析：f(x)＝2＝2sin . ∴最小正周期T＝2π，最大值为2. 6．若tan (α－)＝，则tan α＝________． 　解析：tan α＝tan ＝＝＝. 7．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈(－，)，则α＋β＝________． －　解析：因为tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，所以 所以tan α＜0，tan β＜0，所以α，β∈(－，0). 所以－π＜α＋β ＜0， tan (α＋β)＝＝＝＝. 所以α＋β＝－. 8．已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角．求： (1)sin (α－β)的值；(2)tan (α＋β)的值． 解：(1)因为α，β都是锐角， 所以sin α＝＝，sinβ＝ ＝， 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－×＝. (2)tan α＝＝2，tan β＝＝， 所以tan (α＋β)＝＝－2. 9．在①角α的终边经过点P(1，2)；②α∈(0，)，sin α＝；③α∈(0，)，sin α＋2cos α＝ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 问题：已知________，且tan (α＋β)＝4，求tan β的值. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 解：选择①，因为角α的终边经过点P(1，2)， 所以tan α＝ ＝2.又tan (α＋β)＝4， 所以tan β＝tan [(α＋β)－α]＝ ＝ ＝ . 选择②，因为α∈(0，)，sin α＝， 所以cos α＝＝，tan α＝ ＝ ， 又tan (α＋β)＝4， 所以tan β＝tan [(α＋β)－α] ＝ ＝ ＝. 选择③，因为sin α＋2cos α＝， 所以(sin α＋2cos α)2＝sin2α＋4sinαcos α＋4cos2α＝， 所以＝，即＝ ， 解得tan α＝3或tan α＝－ (舍去). 又tan (α＋β)＝4，所以tan β＝tan [(α＋β)－α] ＝ ＝ ＝. 10．(多选)在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝ ，下列各式正确的是(　　) A．A＋B＝2C B．tan (A＋B)＝－ C．tan A＝tan B D．cos B＝ sin A CD　解析：∵C＝120°，∴A＋B＝60°， ∴2(A＋B)＝C， ∴tan (A＋B)＝ ， ∴选项A，B错误； ∵tan A＋tan B＝(1－tan A tan B)＝ ， ∴tan A tan B＝ ，　① 又tan A＋tan B＝ ，　② ∴联立①②解得tan A＝tan B＝ ， ∴A＝B＝30°， ∴cos B＝ sin A，故选项C，D正确． 11．tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)的值等于(　　) A． B．1 C． D． B　解析：因为＝tan 30°＝， 所