课后提升练(15) 两角和与差的余弦（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(十五)　两角和与差的余弦 1．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos (α－β)的值为(　　) A．－ B．－　 　 C．　 　 　 D． A　解析：因为α为锐角，且cos α＝，所以sin α＝＝，因为β为第三象限角，且sinβ＝－，所以cos β＝－＝－，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×(－)＋×(－)＝－. 2．已知cos α＝，则cos 的值为(　　) A． B．－ C． D．或－ D　解析：∵cos α＝，∴sin α＝±＝±. ∴cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝有两解，应选D. 3．计算cos (80°＋2α)cos (65°＋2α)＋sin (80°＋2α)sin (65°＋2α)的值为(　　) A． B． C． D． C　解析：原式＝cos [(80°＋2α)－(65°＋2α)]＝cos 15°＝cos (45°－30°)＝. 4．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则cos (α－β)的值为(　　) A． B． C． D．－ D　解析：由已知得(sin α＋sin β)2＝，① (cos α＋cos β)2＝，② ①＋②得：2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝1， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝－，即cos (α－β)＝－. 5．已知α，β都是锐角，若sin α＝，sin β＝，则α＋β等于(　　) A． B． C．和 D.－和－ A　解析：由α，β都为锐角，所以cos α＝ ＝， cosβ＝ ＝.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，所以α＋β＝. 6．cos (α－35°)cos (α＋25°)＋sin (α－35°)sin (α＋25°)等于________． 　解析：原式＝cos [(α－35°)－(α＋25°)]＝cos (－60°)＝cos 60°＝. 7．若cos α＝，α∈(，2π)，则cos (－α)＝________． 　解析：因为cos α＝，α∈(，2π)， 所以sin α＝－＝－＝－， 则cos(－α)＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×(－)＝. 8.＝________． 　解析：＝ ＝＝. 9．已知α，β∈(，π)，sin (α＋β)＝－，sin (β－)＝，求cos (α＋). 解：因为α，β∈(，π)， 所以α＋β∈(，2π)，又sin (α＋β)＝－， 所以cos (α＋β)＝ ＝. 由α，β∈(，π)，得β－∈(，)， 因为sin(β－)＝， 所以cos (β－)＝－＝－. 所以cos(α＋)＝cos ＝cos (α＋β)cos (β－)＋sin (α＋β)sin (β－) ＝×(－)＋(－)×＝－. 10．(多选)已知α，β，γ∈(0，)，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　) A．cos (β－α)＝ B．cos (β－α)＝－ C．β－α＝ D．β－α＝－ AC　解析：由已知得sin γ＝sin β－sin α， cos γ＝cos α－cos β. 两式分别平方相加，得 (sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1. ∴－2cos (β－α)＝－1，∴cos (β－α)＝， 故选项A正确，B错误． ∵sin γ＝sin β－sin α>0， ∴β>α，∴β－α＝， 故选项C正确，D错误． 11．若cos (α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角且α＜β，则α＋β的值为(　　) A． B． C． D． C　解析：因为α，β均为锐角，且α<β， 所以－<α－β<0， 所以sin (α－β)＝－， 又0<2α<π，故sin 2α＝， 所以cos (α＋β)＝cos [2α－(α－β)] ＝cos 2α·cos (α－β)＋sin 2α·sin (α－β) ＝×＋×(－)＝－. 因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. 12．在△ABC中，sin A sin C<cos A cos C，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 C　解析：因为sin A sin C<cos A cos C， 所以cos A cos C－sin A sin C>0， 即cos (A＋C)>0，所以cos B<0，即B为钝角． 13．函数y＝cos x＋cos (x＋)，x∈(0，π)的最小值为(　　) A．－ B． C．－ D．