课后提升练(13) 向量数量积的运算律（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(十三)　向量数量积的运算律 1．(多选)已知向量a，b和实数λ，下列选项中正确的是(　　) A．|a|＝　　　 B．|a·b|＝|a||b| C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a||b| ACD　解析：因为|a·b|＝||a|·|b|cos θ|(θ为向量a与b的夹角)＝|a|·|b|·|cos θ|，当且仅当θ＝0或π时，使|a·b|＝|a|·|b|，故B错，ACD均正确． 2．(多选)设a，b，c是三个向量，下列命题正确的是(　　) A．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c B．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 C．非零向量a，b反向⇔a·b＝－|a||b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 CD　解析：A中，a·b－a·c＝a·(b－c)＝0，又a≠0，则b＝c或a⊥(b－c)，即A不正确；B中，a·b＝0⇔a⊥b或a＝0或b＝0，即B不正确；C当a，b反向时，a·b＝－|a||b|成立，反之，当a·b＝－|a||b|时，a，b反向，故命题C正确．D中，左边＝9a2－6a·b＋6b·a－4b2＝9|a|2－4|b|2＝右边，即D正确． 3．若非零向量a与b的夹角为，|b|＝4，(a＋2b)·(a－b)＝－32，则向量a的模为(　　) A．2 B．4　　　　 C．6　　　　 D．12 A　解析：(a＋2b)·(a－b)＝a2＋2a·b－a·b－2b2 ＝a2＋a·b－2b2＝－32， 又a·b＝|a||b|cos ＝|a|×4×＝－2|a|， ∴|a|2－2|a|－2×42＝－32. ∴|a|＝2，或|a|＝0(舍去). 4．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 A　解析：因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，又因为－＝，所以(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形． 5．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝3，则(2a－3b)·(2a＋b)＝________． －44　解析：原式＝4a2－4a·b－3b2＝4×4－4×3－3×16＝－44. 6．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________． 　解析：∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.又∵|a|＝2，|b|＝3，a⊥b，∴12λ＋(2λ－3)×2×3×cos 90°－18＝0，∴12λ－18＝0，∴λ＝. 7．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为________． 　解析：由c⊥a得，a·c＝0，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，θ∈[0，π]，所以向量a与b的夹角θ＝. 8．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝. (1)求|b|； (2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值． 解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝， 即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝， 所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝. (2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1. 又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝， 所以cos θ＝＝， 又θ∈[0，π]，故θ＝. 9．已知向量a、b的长度|a|＝4，|b|＝2. (1)若a、b的夹角为120°，求|3a－4b|； (2)若|a＋b|＝2，求a与b的夹角θ. 解：(1)a·b＝|a||b|cos 120° ＝4×2×＝－4. 又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2 ＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304， ∴|3a－4b|＝4. (2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝42＋2a·b＋22＝(2)2， ∴a·b＝－4，∴cos θ＝＝＝－. 又θ∈[0，π]，∴θ＝. 10．已知向量a，b为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为(　　) A． B． C． D． B　解析：设a与b的夹角为θ，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b.所以(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0.所以a2＝2a·b，b2＝2a·b，所以a2＝b2， 所以|a|＝|b|，所以cos θ＝＝＝＝. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝.所以a，b夹角为. 11．如图，已知正六