课后提升练(12) 向量数量积的概念（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(十二)　向量数量积的概念 1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝(　　) A．12 B．12 　 　 C．－12　　 D．－12 C　解析：m·n＝|m||n|cos θ＝4×6×cos 135°＝－24×＝－12. 2．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(　　) A．60° B．120° C．30° D．150° A　解析：平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示， 则由对顶角相等可得向量－a与－b的夹角也是60°. 3．已知|b|＝3，向量a在向量b上的投影向量为b，则a·b＝(　　) A．3 B． C． D． D　解析：∵a在b上的投影向量为|a|cos θ＝b，∴＝，即|a|cos θ＝.∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝. 4．△ABC中，·＜0，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 C　解析：∵·＝||||cos A＜0，∴cos A＜0. ∴A是钝角．∴△ABC是钝角三角形． 5．若向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，a·b＝－1，则向量a，b的夹角的大小为________． 　解析：∵|a|＝，|b|＝1，a·b＝－1，设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，又θ∈[0，π]， ∴θ＝. 6．已知|a|＝8，e为单位向量，a与e的夹角为150°，则a在e上的投影向量为________． －4e　解析：a在e上的投影向量为|a|cos 150°e＝8×e＝－4e. 7．已知|a|＝1，a·b＝，|a|2－|b|2＝，求a与b的夹角． 解：∵|a|2－|b|2＝，|a|＝1，∴|b|＝＝.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°. 8．已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积． 解：(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20； 若a与b反向，则θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a与b的夹角为30°时， a·b＝|a||b|cos 30°＝4×5×＝10. 9．若a·b＞0，则a与b的夹角θ的取值范围是(　　) A． B． C． D． A　解析：∵a·b＞0，∴cos θ＞0，∴θ∈. 10．已知向量a，b，满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． C　解析：cos θ＝＝＝，∴0≤θ≤π，θ＝. 11．已知平面上三点A，B，C，满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　) A．－7 B．7 C．25 D．－25 D　解析：由条件知∠ABC＝90°， 所以原式＝0＋4×5cos (180°－C)＋5×3cos (180°－A) ＝－20cos C－15cos A＝－20×－15× ＝－16－9＝－25. 12．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　) A． B． C． D． B　解析：∵Δ＝a2－4|a|·|b|cos θ(θ为向量a与b夹角) 若方程有实根，则有Δ≥0， 即a2－4|a|·|b|cos θ≥0， 又|a|＝2|b|，∴4|b|2－8|b|2cos θ≥0， ∴cos θ ≤，又0≤θ≤π，∴≤θ≤π. 13．已知|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________． b　解析：∵与b方向相同的单位向量为＝b，设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝，∴|a|cos θ＝＝. ∴向量a在向量b上的投影向量为 |a|cos θ＝×b＝b. 14．如图，在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°. 求：(1)·； (2)·； (3)·. 解：(1)·＝||2＝9. (2)·＝－||2＝－16. (3)·＝||||cos (180°－60°) ＝4×3×(－)＝－6. 学科网（北京）股份有限公司 $$