精品解析：北京市清华大学附中2024届高三下学期开学考试数学试题

下学期数学统练一 （高21级） 2024.2 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则可以为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ） A. 两条相交直线确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面 C. 四点确定一个平面 D. 直线及直线外一点确定一个平面 4. 若是奇函数，则（ ） A B. C. D. 5. 已知分别为三个内角的对边，若，，则等于（ ） A B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在无穷项等比数列中，为其前n项的和，则“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 已知关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点A和点B互为等差点．已知点Q是圆上一点，若直线上存在点Q的等差点P，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 平面内互不重合的点、、、、、、，若，其中，2，3，4，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择 题共110分） 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分. 11. 已知，则______. 12. 双曲线离心率为__________. 13. 已知等差数列的公差为，前项和记为，满足，若数列为单调递增数列，则公差的取值范围为__________. 14. 正方体中，E是棱中点，F是侧面内的动点，且平面，若正方体的棱长是2，则线段的最小值______. 15. 海水受日月的引力，会发生潮汐现象.在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋.某兴趣小组通过技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深（单位：米）随时间（单位：小时）的变化规律为，其中；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙.在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________. ①若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时； ②若，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时； ③若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大； ④若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大. 三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，. （1）求的最小值； （2）设，求的取值范围， 17. 在三棱柱中，平面平面，为正三角形，D，E分别为和中点. （1）求证：平面； （2），，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使三棱柱唯一确定，求DE与平面所成角的正弦值. 条件①： 条件②： 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试，每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀，两位同学的测试成绩如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 平均分 甲 82 80 82 86 93 93 86 乙 76 81 80 85 89 96 86 （1）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率： （2）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布列及数学期望； （3）记样本中甲进行的六次测试成绩的方差为，样本中乙进行的七次测试成绩的方差为，样本中甲、乙两名同学共进行的13次测试成绩的方差为，写出，，的大小关系.（结论不要求证明） 19. 已知函数，曲线在处的切线方程为. （1）求a，b的值： （2）①求证：只有