抛物线的双切线同构 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

抛物线中的双切线同构 在抛物线的切点弦推导中,由于涉及二次函数的切线问题,同时还涉及阿基米德三角形等相关问题,我们要格外重视推导过程. 如图所示,设过拋物线外一点,作抛物线的两条切线,切点分别为,则切点弦的直线方程为 证明设,因为故 整理可得-① 同理可得-② 由于①②两式均经过,故满足 设为上式的两个根,由韦达定理有 -③，-④ 因为已知,即,则经过的两点式表示为 将③④代入可得 即 此为点对应抛物线的切点弦方程. 同理可得过抛物线外一点作抛物线的两条切线,切点分别为,切点弦的直线方程为. 这类试题主要的点在算理，即计算中如何合理的处理双切线，我总结如下：已知曲线外一点,向二次曲线引两条切线，设. 第1步：分别写出切线的方程（注意斜率）； 第2步：联立与曲线的方程，利用相切条件，得到代数关系①，②式从而以的或坐标为参数，进一步构造点横或纵坐标满足的同构方程方程③； 第3步：利用方程③根与系数的关系判断与曲线的位置关系，或完成其他问题. 1.如图13.3所示,已知抛物线0),点在抛物线上,过点作的切线,切点分别为(当点为原点吋,点重合于点.当吋,切线的斜率为. (1)求的值. (2)当点在上运动时,求线段的中点的轨迹方程(点重合于时,中点为. 2.已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 3.抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 4.如图13.6所示,已知抛物线,圆1的圆心为点,已知点是抛物线上一点(异于原点),过点作圆的两条切线交抛物线于两点,若过两点的直线垂足于 , （1）求直线的方程. 5.设为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线、，交于、两点． (1)求圆心到抛物线准线的距离． (2)是否存在点，使得线段被抛物线在点处的切线平分?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图13.8所示，已知抛物线和圆，过抛物线上的点作圆的两条切线，与轴分别交于、两点，求面积的最小值． 7.已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（ ） A. B. C.2 D.3 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抛物线中的双切线同构 在抛物线的切点弦推导中,由于涉及二次函数的切线问题,同时还涉及阿基米德三角形等相关问题,我们要格外重视推导过程. 如图所示,设过拋物线外一点,作抛物线的两条切线,切点分别为,则切点弦的直线方程为 证明设,因为故 整理可得-① 同理可得-② 由于①②两式均经过,故满足 设为上式的两个根,由韦达定理有 -③，-④ 因为已知,即,则经过的两点式表示为 将③④代入可得 即 此为点对应抛物线的切点弦方程. 同理可得过抛物线外一点作抛物线的两条切线,切点分别为,切点弦的直线方程为. 这类试题主要的点在算理，即计算中如何合理的处理双切线，我总结如下：已知曲线外一点,向二次曲线引两条切线，设. 第1步：分别写出切线的方程（注意斜率）； 第2步：联立与曲线的方程，利用相切条件，得到代数关系①，②式从而以的或坐标为参数，进一步构造点横或纵坐标满足的同构方程方程③； 第3步：利用方程③根与系数的关系判断与曲线的位置关系，或完成其他问题. 1.如图13.3所示,已知抛物线0),点在抛物线上,过点作的切线,切点分别为(当点为原点吋,点重合于点.当吋,切线的斜率为. (1)求的值. (2)当点在上运动时,求线段的中点的轨迹方程(点重合于时,中点为. 解:(1), 由于直线与抛物线为相切关系, 判別式等于0，故可得. (2)设点. 因为,所以直线方程为即 整理可得将点坐标代人可得 同理将点坐标代人直线为程可得 所以为方程的两个根.由韦达定理可得 因为为中点,故 即,由于,故代人化简为,此即为点轨迹方程. 【感悟】本题并没有用到切点弦相关结论,完全是中规中矩的推导,这也是为什么要强调在关注结论的同时,一定要知道结论是怎么来的. 2.已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. （1）抛物线的焦点为，， 所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； （2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得， 设点、、， 直线的方程为，即，即， 同理可知，直线的方程为， 由于点为这两条直线的公共点，则， 所以，点、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 点到直线的距离为， 所以，， ， 由已知可得，所以，当时，的面积取最