2024年普通高等学校招生全国统一考试广东省模拟测试（一）数学试卷

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一） 数学 本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自已所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记复数的共轭复数为，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的顶点到其渐近线的距离为（ ） A B. 1 C. D. 4. 过，，三点的圆与轴交于，两点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 6 5. 假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，） A. 23 B. 100 C. 150 D. 232 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 分别以锐角三角形的边AB，BC，AC为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积之比为，则（ ） A B. C. D. 8. 已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 48 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为，则 D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 10. 已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 11. 已知正方体的各个顶点都在表面积为的球面上，点为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 有无数个点，使得平面 B. 有无数个点，使得平面 C. 若点平面，则四棱锥的体积的最大值为 D. 若点平面，则最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 随机变量，若且，则随机变量的第80百分位数是______. 13. 已知函数在区间上单调，且满足，，则______. 14. 已知直线与椭圆在第一象限交于P，Q两点，与轴，轴分别交于M，N两点，且满足，则的斜率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，函数. （1）求的单调区间. （2）讨论方程的根的个数. 16. 如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点是圆上异于点，的任意一点. （1）若点到平面的距离为，证明：. （2）求与平面所成角的正弦值的取值范围. 17. 如图，已知抛物线，其上有定点，，动点在抛物线上，且点位于点A，B之间的曲线段上（不与点，重合），过点作直线的垂线，垂足为. （1）若点是的中点，求点的坐标. （2）求证：无最大值. 18. 某单位进行招聘面试，已知参加面试的名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学生人数为.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场. （1）求面试号码为2学生来自A校的概率. （2）若，，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为，求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）的概率. （3）记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间），是的数学期望，证明：. 19. 数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量