广东省2024届高三下学期3月一模考试数学试题

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一） 数学 本试卷共5页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．记复数ｚ的共轭复数为，若，则（ ） A．1 B． C．2 D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．双曲线的顶点到其渐近线的距离为（ ） A． B．1 C． D． 4．过，，三点的圆与y轴交于M，N两点，则（ ） A．3 B．4 C．8 D．6 5．假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%．那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍．（参考数据：，，）（ ） A．23 B．100 C．150 D．232 6．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．分别以锐角三角形的边，，为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积之比为，则（ ） A． B． C． D． 8．已知集合，若a，b，且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ） A．16 B．24 C．32 D．48 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 10．已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知正方体的各个顶点都在表面积为的球面上，点P为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是（ ） A．有无数个点P，使得平面 B．有无数个点P，使得平面 C．若点平面，则四棱锥的体积的最大值为 D．若点平面，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．随机变量，若且，则随机变量X的第80百分位数是______． 13．已知函数在区间上单调，且满足，，则______． 14．已知直线l与椭圆在第一象限交于P，Q两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且满足，则l的斜率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知，函数． （1）求的单调区间． （2）讨论方程的根的个数． 16．（15分） 如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点P是圆上异于点C，D的任意一点． （1）若点D到平面的距离为，证明：． （2）求与平面所成角的正弦值的取值范围． 17．（15分） 如图，已知抛物线，其上有定点，，动点P在抛物线上，且点P位于点A，B之间的曲线段上（不与点A，B重合），过点B作直线的垂线，垂足为Q． （1）若点P是的中点，求点P的坐标． （2）求的最大值． 18．（17分） 某单位进行招聘面试，已知参加面试的N名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学生人数为．该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码k（，2，3，…，N），按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场． （1）求面试号码为2的学生来自A校的概率． （2）若，，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为，求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）的概率． （3）记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间），是X的数学期望，证明：． 19．（17分） 数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵．对于平面向量，其模定义为．类似地