广东省2024届高三下学期3月一模考试数学试题

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）

数学

本试卷共5页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．记复数ｚ的共轭复数为，若，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．双曲线的顶点到其渐近线的距离为（    ）

A． B．1 C． D．

4．过，，三点的圆与y轴交于M，N两点，则（    ）

A．3 B．4 C．8 D．6

5．假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%．那么，大约需要经过（    ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍．（参考数据：，，）（    ）

A．23 B．100 C．150 D．232

6．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

7．分别以锐角三角形的边，，为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积之比为，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知集合，若a，b，且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（    ）

A．16 B．24 C．32 D．48

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若与的夹角为，则

D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是

10．已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

11．已知正方体的各个顶点都在表面积为的球面上，点P为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是（    ）

A．有无数个点P，使得平面

B．有无数个点P，使得平面

C．若点平面，则四棱锥的体积的最大值为

D．若点平面，则的最大值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．随机变量，若且，则随机变量X的第80百分位数是______．

13．已知函数在区间上单调，且满足，，则______．

14．已知直线l与椭圆在第一象限交于P，Q两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且满足，则l的斜率为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）

已知，函数．

（1）求的单调区间．

（2）讨论方程的根的个数．

16．（15分）

如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点P是圆上异于点C，D的任意一点．

（1）若点D到平面的距离为，证明：．

（2）求与平面所成角的正弦值的取值范围．

17．（15分）

如图，已知抛物线，其上有定点，，动点P在抛物线上，且点P位于点A，B之间的曲线段上（不与点A，B重合），过点B作直线的垂线，垂足为Q．