精品解析：上海市嘉定区第一中学2024届高三下学期寒假测试数学试卷（开学考）

嘉定一中高三寒假数学测试 一.填空题（每题5分） 1. 已知集合，，则________； 2. 在平面直角坐标系中，角以Ox为始边，且．把角α终边绕端点O逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则________； 3. 数列满足，且与的等差中项是5，则________； 4. 已知，若，则___． 5. 珠穆朗玛峰高达8848.86米，但即使你拥有良好的视力，你也无法在上海看到它．一个观察者距离珠穆朗玛峰多远，才能在底面上看到它呢？为了能够通过几何方法解决这个问题，需要利用简单的几何模型表示这个问题情境，在此过程中，有下列假设：①珠穆朗玛峰的形状为等腰梯形；②地球的形状是一个球体；③太阳光线沿直线传播；④没有事物可以阻碍人们看到珠穆朗玛峰的视线．你认为最不重要的一个假设是__________． 6. 已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设该产品年产量为Q时的平均成本为（单位：元/件），则的最小值是________； 7. 某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程（单位：万千米）对应维修保养费用（单位：万元）的四组数据，这四组数据如下表： 行驶里程/万千米 维修保养费用万元 若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为万千米时的维修保养费是_____________． 8. 已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为______． 9. 已知函数满足，若函数与图像的交点为，则________； 10. 一个单位方格的四条边中，若存在三条边染了三种不同的颜色，则称该单位方格是“多彩”的．如图，一个1×3的方格表的表格线共含10条单位长线段，现要对这10条线段染色，每条线段染为红黄蓝三色之一，使得三个单位方格都是多彩的，这样的染色方式种数为________（答案用数值表示）． 二､选择题（每题5分） 11. 已知，那么在下列不等式中，不成立的是 A. B. C. D. 12. 如图，正方体中，M是的中点，则（ ） A. 直线与直线相交，直线平面 B 直线与直线平行，直线平面 C. 直线与直线AC异面，直线平面 D. 直线与直线垂直，直线∥平面 13. 已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题： 甲：； 乙：； 丙：； 丁： 如果只有一个假命题，则该命题为（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 14. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ） A. 有极小值点，没有极大值点 B. 有极大值点，没有极小值点 C. 至少有两个极小值点和一个极大值点 D. 至少有一个极小值点和两个极大值点 三.解答题（共60分） 15. 如图，在三棱锥中，AB是外接圆的直径，是边长为2的等边三角形，E，F分别是PC，PB的中点，，. （1）求证：平面平面ABC； （2）求直线AB与平面AEF所成角的正弦值. 16. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立. （1）填写下面的列联表； （2）根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.（单位：只） 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 参考公式：（其中样本容量 0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025 0.455 0708 1.323 2.072 2.706 3.841 5024 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：(a>b>0)的左顶点为A，过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以AB为边作矩形ABCD，其中直线CD过原点O.当点B为椭圆M的上顶点时，△AOB的面积为b，且AB=. （1）求椭圆M的标准方程； （2）求矩形ABCD面积S的最大值； （3）矩形ABCD能否为正方形？请说明理由. 18. 已知函数的极小值为1． （1）求实数a的值； （2）设函数． ①证明：当时，，恒成立； ②若函数有两个零点，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 嘉定一中高三寒假数学测试 一.填空题（每题5分） 1. 已知集合，，则________； 【答案】##