第27期 1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年八年级下册数学学案（湘教版）

书 通过学习，同学们已经 了解了直角三角形的定义、 直角三角形的性质定理以及 判定定理，下面让我们一起 来回顾一下． １．直角三角形的定义 有一个角是直角的三角 形叫直角三角形．在直角三 角形中，夹直角的两边叫作 直角边，直角的对边叫作斜 边． ２．直角三角形的性质 （１）直角三角形的两个 锐角互余； （２）直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半； （３）在直角三角形中，如果一个锐角等于３０°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半； （４）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜 边的一半，那么这条直角边所对的角等于３０°； （５）直角三角形两直角边 ａ，ｂ的平方和，等于 斜边ｃ的平方，即ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２．（勾股定理，见下期） ３．直角三角形的判定 （１）定义； （２）有两个角互余的三角形是直角三角形； （３）一个三角形中，如果这个三角形一边上的 中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条 边为斜边的直角三角形； （４）如果三角形的三条边长ａ，ｂ，ｃ满足关系：ａ２ ＋ｂ２＝ｃ２，那么这个三角形是以ｃ为斜边的直角三角 形．（勾股定理的逆定理，见下期） 书 在求解直角三角形的习题时，往往将相关的知识点 结合起来考查．下面举例说明，供同学们参考． 一、直角三角形“携手”平行线 例１　如图１，已知ｌ∥ＡＢ，ＣＤ⊥ ｌ于点Ｄ．若∠Ｃ＝４０°，则∠１的度数 是 （　　） Ａ．３０° Ｂ．４０° Ｃ．５０° Ｄ．６０° 分析：根据直角三角形的性质求出 ∠ＣＥＤ的度数， 再根据平行线的性质解答即可． 解：在Ｒｔ△ＣＤＥ中，∠ＣＤＥ＝９０°，∠Ｃ＝４０°，所以 ∠ＣＥＤ＝９０°－∠Ｃ＝５０°．因为 ｌ∥ ＡＢ，所以 ∠１＝ ∠ＣＥＤ＝５０°． 故选Ｃ． 二、直角三角形“携手”线段的垂直平分线 例２　 如图 ２，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝９０°，ＡＢ的垂直平分线ＤＥ交ＡＣ于 点 Ｅ，连接 ＢＥ．若 ∠Ａ＝４０°，则 ∠ＣＢＥ的度数为 ． 分析：根据线段的垂直平分线的 性质得到 ＥＡ＝ＥＢ，得到 ∠ＡＢＥ＝ ∠Ａ＝４０°，根据三角形外角的性质求出∠ＣＥＢ的度数， 根据直角三角形的性质计算即可． 解：因为ＤＥ是ＡＢ的垂直平分线，所以ＥＡ＝ＥＢ．所 以∠ＡＢＥ＝∠Ａ＝４０°．所以∠ＣＥＢ＝∠ＡＢＥ＋∠Ａ＝ ８０°．因为∠Ｃ＝９０°，所以∠ＣＢＥ＝９０°－∠ＣＥＢ＝１０°． 故填１０°． 三、直角三角形“携手”折叠 例３　如图３，△ＡＢＣ为直角三角 形，∠Ｂ＝９０°，∠Ｃ＝６０°，点Ｅ，Ｆ分别 在边ＢＣ，ＡＣ上，将 △ＣＥＦ沿 ＥＦ折叠， 点Ｃ恰好落在边ＡＢ上的点Ｄ．若ＥＤ平 分 ∠ＢＥＦ，ＡＣ的长为 ａ，则 ＥＣ ＝ （用含ａ的式子表示）． 分析：根据含３０°角的直角三角形的性质，可得 ＢＣ 的长，根据折叠和角平分线的定义可得∠ＣＥＦ＝∠ＤＥＦ ＝∠ＤＥＢ＝６０°，再根据含３０°角的直角三角形的性质 可得ＢＥ＝ １２ＣＥ，即可求出ＥＣ的长． 解：因为∠Ｂ＝９０°，∠Ｃ＝６０°，所以∠Ａ＝９０°－ ∠Ｃ＝３０°．因为ＡＣ的长为ａ，所以ＢＣ＝ａ２．根据折叠的 性质，得 ＤＥ＝ＥＣ，∠ＤＥＦ＝∠ＣＥＦ．因为 ＥＤ平分 ∠ＢＥＦ，所以 ∠ＤＥＦ＝∠ＤＥＢ＝∠ＣＥＦ＝６０°．所以 ∠ＢＤＥ＝９０°－∠ＤＥＢ＝３０°．所以 ＢＥ＝ １２ＤＥ＝ １ ２ＥＣ．所以ＥＣ＝ ２ ３ＢＣ＝ ａ ３． 故填 ａ ３． 书 在直角三角形中，如果一个锐角等于３０°，那么它所 对的直角边等于斜边的一半．这是解含３０°角的直角三 角形时常用的定理，也是中考试题中常考的知识点，那 么这一定理该如何证明呢？现给出以下几种证明方法供 同学们参考． 如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝３０°．求证： ＢＣ＝ １２ＡＢ． 证法一：如图２，延长ＢＣ至点Ｄ，使ＤＣ＝ＢＣ，连接 ＡＤ． 因为∠ＡＣＢ＝９０°，所以ＡＣ⊥ＤＢ． 又因为ＤＣ＝ＢＣ，所以ＡＢ＝ＡＤ． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，因为∠ＢＡＣ＝３０°， 所以∠Ｂ＝９０°－∠ＢＡＣ＝６０°． 所以△ＡＢＤ为等边三角形． 所以ＢＣ＝ＤＣ＝ １２ＢＤ＝ １ ２ＡＢ． 证法二：如图３，在Ｒｔ△ＡＢＣ内部作∠ＤＣＢ＝∠Ｂ， 交ＡＢ于点Ｄ． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，因为∠Ａ＝３０°， 所以∠Ｂ＝９０°－∠Ａ＝６０°． 所以∠ＤＣＢ＝∠Ｂ＝６０°． 所以∠ＣＤＢ＝１８０°－∠ＤＣＢ－∠Ｂ＝６０°． 所以△ＢＣＤ为等边三角形． 所以ＢＣ＝ＤＣ＝ＢＤ． 因为∠Ａ＝３０°，所以∠ＤＣＡ＝∠ＢＤＣ－∠Ａ＝３０° ＝∠Ａ． 所以ＡＤ＝ＤＣ． 所以ＢＣ＝ＡＤ＝ＢＤ＝ １２ＡＢ． 证法三：如图４，以点 Ｂ为圆心，ＢＣ长为半径作弧， 交ＡＢ于点Ｄ，连接ＣＤ，则ＢＣ＝ＢＤ． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，因为∠Ａ＝３０°， 所以∠Ｂ＝９０°－∠Ａ＝６０°． 又因为ＢＣ＝ＢＤ，所以△ＢＣＤ为等