第20章 数据的整理与初步处理 整理与复习-【一线调研】2023-2024学年八年级下册数学单元整合卷（华东师大版）

! " # $ % —５３— —５４— ·数学八年级下·ＨＳ· 第二十章整理与复习 数　学 !" #$ !"#$%： '(!)*$%： !+,-$：. ' . ' 知 识 点 一 二 三 总 分 得　分 （“思维导图＋知识点整理”共２０分钟，“点对点练习”满分１００分，时间９０分钟） 数据的整理 与初步处理 平均数 平均数的定义 加权平均数———平均数的应用{ 用计算器求平均数 数据的集中趋势 中位数 数据个数为奇数：最中间位置的数 数据个数为偶数： { 中间位置两数的平均数 众数 出现次数最多的数 众数可以不止一个， { 也可以没有 平均数、中位数、众数的选用———      根据数据的特征选用 数据的离散程度 方差 方差的特征 方差越大波动越大{ 方差越小波动越小                     用计算器求方差 　平均数 １．定义：一般地，对于几个数据ｘ１，ｘ２，ｘ３，…，ｘｎ，我们把 １ ｎ（ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋…＋ｘｎ）叫做这几 个数的平均数；用　　　　表示． ２．加权平均数：在求ｎ个数的平均数时，如果ｘ１出现ｆ１次，ｘ２出现ｆ２次，……，ｘｋ出现ｆｋ 次（这里ｆ１＋ｆ２＋…＋ｆｋ＝ｎ），那么这ｎ个数的平均数可以表示为ｘ＝　　　　　　　，这个平 均数叫做加权平均数，其中ｆ１，ｆ２，…，ｆｋ分别叫做ｘ１，ｘ２，…，ｘｋ的　　　　． ３．用计算器求平均数． 　数据的集中趋势 １．中位数：一般地，将一组数据按大小顺序排列（相等的数据也要参与排列），处于　　　 位置的一个数据（或中间位置两个数据的　　　　）叫做这组数据的中位数． ２．众数：一组数据中出现次数　　　　的数据称为这组数据的众数． ３．平均数、中位数和众数的选用： 平均数 中位数 众数 优点 平均数的大小与一组数据中 的每一个数据都有关系，其 中任何一个数据的变化都会 引起平均数的变化，平均数 能充分利用各数据的信息 中位数不受个别偏大或 偏小数据的影响，当一组 数据中的个别数据波动 较大时，一般用它来描述 这组数据的集中趋势 众数考察的是各数据所出 现的频数，其大小与部分数 据有关，当一组数据中某些 数据多次重复出现时，众数 往往更能反映问题 缺点 在计算平均数时，所有的数 据都参与，所以它受极端值 的影响较大 不能充分地利用各数据 的信息 当各数据重复出现的次数 大致相同时，它往往没有 什么特别意义 联系 平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中趋势的特征数 　数据的离散程度 １．方差的概念：设有ｎ个数据ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，各数据与它们的平均数ｘ的差的平方分别是 （ｘ１－ｘ） ２，（ｘ２－ｘ） ２，…，（ｘｎ－ｘ） ２，我们用它们的平均数来衡量这组数据的波动大小，并把它 叫做这组数据的方差． ２．方差的计算公式：通常用ｓ２表示一组数据的方差，用ｘ表示一组数据的平均数，则ｓ２＝ 　　　　　　． ３．用计算器求方差的一般顺序：（１）打开计算器；（２）启动“单变量统计”功能；（３）输入 所有数据；（４）即可获得这组数据的统计值． 　平均数 １．（５分）我省某市五月份第二周连续七天的空气质量指数分别为１１１，９６，４７，６８，７０，７７，１０５， 则这七天空气质量指数的平均数是 （　　） Ａ．７１．８　　　　　　　　Ｂ．７７　　　　　　　　Ｃ．８２　　　　　　　　Ｄ．９５．７ ２．（５分）有１０名学生的数学小组在某次数学考试中，８名学生的平均成绩是ｘ分，如果另外 ２名学生每人得８４分，那么整个组的平均成绩是 （　　） Ａ．ｘ＋８４２ 分 Ｂ． ｘ＋１６８ １０ 分 Ｃ． ８ｘ＋８４ １０ 分 Ｄ． ８ｘ＋１６８ １０ 分 ３．（５分）某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为１分，２分，３分，４分４个 等级，将调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．根据图中信息，这些学生的 平均分是 （　　） 成绩频数条形统计图　　　　　　成绩频数扇形统计图 Ａ．２．２５分 Ｂ．２．５分 Ｃ．２．９５分 Ｄ．３分 ! " # $ % ·数学八年级下·ＨＳ· —５５— —５６— ４．（６分）学校以德、智、体三项成绩来计算学生的平均成绩，三项成绩的比为１∶３∶１，小明德、 智、体三项成绩分别为９８分、９５分、９６分，则小明的平均成绩为 分． ５．（１２分）小明八年级上学期各次数学考试的成绩如下表： 考试类别 测验１ 测验２ 测验３ 测验４ 期中考试 期末考试 成绩（分） １３２ １０５ １４６ １２９ １３４ １３０ （１）求小明该学期平时测验的平均成绩； （２）如果学期的总评成绩是根据如图所示的权重计算的，请计算出小明该学期的总评成绩． 　数据的集中趋势 ６．（５分）一次数学测验中，某小组五位同学的成绩分别是１１０、１０５、９０、９５、９０，则这五个数据 的中位数是 （　　） Ａ．９０ Ｂ．９５ Ｃ．１００ Ｄ．１０５ ７．（５分）在“我为贫困留守儿童献爱心”捐款活动中，某校八年级（２）班５０名同学捐款情况 如下表： 金额（元） ２０ ３０ ３５ ５０ １００ 学生（人） ８ １０ ６ １８ ８ 在这次活动中，该班同学捐款金额的众数是 （　　） Ａ．５０元 Ｂ．１００元 Ｃ．３５元 Ｄ．３０元 ８．（５分）某校共有４０名初中学生参加足球兴趣小组，他们的年龄 统计情况如图所示，则这４０名学生年龄的中位数是 （　　） Ａ．１２岁 Ｂ．１３岁 Ｃ．１４岁 Ｄ．１５岁 ９．（６分）在新年晚会的投飞镖游戏环节中，７名同学的投掷成绩 （单位：环）分别是７，９，９，４，９，８，８，则这组数据的众数是 ． １０．（１６分）甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相同，比赛结束 后，发现学生成绩分别为７分、８分、９分、１０分（满分为１０分），依据统计数据绘制了尚不 完整的统计图表． 　　　甲校成绩统计表 分数 ７分 ８分 ９分 １０分 人数 １１ ０ ８ 　　 乙校成绩扇形统计图 　　 　　 乙校成绩条形统计图 （１）扇形统计图中，“７分”所在扇形的圆心角等于 ； （２）请你将乙校成绩条形统计图补充完整； （３）经计算，乙校成绩的平均分是８．３分，中位数是８分，请写出甲校成绩的平均分，中位 数，并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好； （４）如果该区教育局要组织８人的代表队参加市级口语团体赛，为便于管理，决定从这两 所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析应该选哪所学校． 　数据的离散程度 １１．（５分）教练要从甲、乙两名射击运动员中选一名成绩较稳定的运动员参加比赛．两人在相 同条件下各打了５发子弹，命中环数如下：甲：９、８、７、７、９；乙：１０、８、９、７、６，应该选 （　　） Ａ．甲 Ｂ．乙 Ｃ．甲、乙都可以 Ｄ．无法确定 １２．（５分）某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，在校的“挑战赛”中，四 名学生的平均成绩ｘ和方差如表所示，如果要选一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，那么 应选的学生是 （　　） 甲 乙 丙 丁 ｘ ８ ９ ９ ８ ｓ２ １ １．２ １ １．３ Ａ．甲 Ｂ．乙 Ｃ．丙 Ｄ．丁 １３．（６分）小明用ｓ２＝１１０［（ｘ１－５） ２＋（ｘ２－５） ２＋（ｘ３－５） ２＋…＋（ｘ１０－５） ２］计算一组数据的 方差，那么ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘ１０＝ ． １４．（１４分）某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测 试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 １０ ８ ９ ８ １０ ９ 乙 １０ ７ １０ １０ ９ ８ （１）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环； （２）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差； （３）根据（１）、（２）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由． ! " # $ % —７７— —７８— ·数学八年级下·ＨＳ· 误．故答案为①②． １６．证明：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＡＤ． 在△ＡＢＥ和△ＤＡＦ中 ∠２＝∠１， ＡＢ＝ＤＡ， ∠４＝∠３ { ， ∴△ＡＢＥ≌△ＤＡＦ． １７．证明：∵ＡＦ∥ＣＧ，ＦＧ∥ＡＣ，∴四边形 ＡＣＧＦ为平行四边形， ∵ＣＥ是△ＡＢＣ的外角∠ＡＣＤ的平分线，∴∠ＡＣＦ＝∠ＦＣＧ， ∵ＡＦ∥ＣＧ，∴∠ＡＦＣ＝∠ＦＣＧ，∴∠ＡＣＦ＝∠ＡＦＣ，∴ＡＦ＝ ＡＣ，∴四边形ＡＣＧＦ为菱形． １８．证明：∵ＤＦ平分∠ＡＤＣ，ＤＥ平分∠ＢＤＣ，ＡＤ＝ＢＤ＝ＣＤ， ∴ＤＦ⊥ＡＣ，ＤＥ⊥ＢＣ， 又∵∠ＡＣＢ＝９０°，∴四边形ＤＥＣＦ是矩形． １９．（１）证明：∵ＥＦ是ＡＣ的垂直平分线， ∴ＯＡ＝ＯＣ，∠ＡＯＦ＝∠ＣＯＥ＝９０°， ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＦＡＯ＝∠ＥＣＯ， 在△ＡＯＦ和△ＣＯＥ中，∠ＦＡＯ＝∠ＥＣＯ，ＯＡ＝ＯＣ，∠ＡＯＦ ＝∠ＣＯＥ， ∴△ＡＯＦ≌△ＣＯＥ（Ａ．Ｓ．Ａ．），∴ＯＦ＝ＯＥ． ∵ＯＡ＝ＯＣ，∴四边形ＡＥＣＦ是平行四边形， 又∵ＥＦ⊥ＡＣ，∴四边形ＡＥＣＦ是菱形． （２）解：设ＥＣ＝ｘ， ∵ＥＦ是ＡＣ的垂直平分线， ∴ＡＥ＝ＥＣ＝ｘ，则ＢＥ＝８－ｘ， 在Ｒｔ△ＡＢＥ中，由勾股定理得ＡＢ２＋ＢＥ２＝ＡＥ２， ∴４２＋（８－ｘ）２＝ｘ２，解得ｘ＝５，即ＥＣ＝５． ２０．（１）证明：在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＢＡＣ＝∠ＦＣＯ， 又∵ＡＥ＝ＣＦ，∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ，∴△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ， ∴ＯＥ＝ＯＦ． （２）解：连结ＯＢ，∵ＢＥ＝ＢＦ，ＥＯ＝ＦＯ，∴ＢＯ⊥ＥＦ．根据矩形 的性质：ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ，∴∠ＢＡＣ＝∠ＡＢＯ，又∵∠ＢＥＦ＝ ２∠ＢＡＣ，∴在Ｒｔ△ＢＥＯ中，∠ＢＥＦ＋∠ＡＢＯ＝９０°，即２∠ＢＡＣ＋ ∠ＢＡＣ＝９０°，解得∠ＢＡＣ＝３０°，∴∠ＢＯＣ＝６０°． ∵ＢＣ 槡＝２３，∴ＡＣ＝２ＯＣ＝２ＢＣ 槡＝４３， ∴ＡＢ＝ ＡＣ２－ＢＣ槡 ２＝ （ 槡４ ３） ２－（ 槡２ ３）槡 ２＝６．即ＡＢ的长为６． ２１．（１）证明：∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ边上的中线， ∴ＡＤ⊥ＢＣ，∴∠ＡＤＢ＝９０°， 又∵四边形ＡＤＢＥ是平行四边形，∴四边形ＡＤＢＥ是矩形． （２）解：Ｓ矩形ＡＤＢＥ＝１２． ２２．解：（１）在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＰ＝ＢＱ＝ＣＥ＝ＤＦ，ＡＢ＝ＢＣ＝ ＣＤ＝ＤＡ， ∴ＢＰ＝ＱＣ＝ＥＤ＝ＦＡ． 又∵∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝∠ＢＣＤ＝∠Ｄ＝９０°， ∴△ＡＦＰ≌△ＢＰＱ≌△ＣＱＥ≌△ＤＥＦ． ∴ＦＰ＝ＰＱ＝ＱＥ＝ＥＦ，∠ＡＰＦ＝∠ＰＱＢ． ∴四边形ＰＱＥＦ是菱形， ∵∠ＦＰＱ＝９０°， ∴四边形ＰＱＥＦ为正方形． （２）连结ＡＣ交ＰＥ于Ｏ，连结ＡＥ，ＰＣ． 由（１）知，∵ＡＰ瓛ＥＣ， ∴四边形ＡＰＣＥ为平行四边形． ∵Ｏ为对角线ＡＣ的中点， ∴对角线ＰＥ总过ＡＣ的中点． ２３．（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ为矩形，∴∠ＡＢＣ＝９０°， ∵ＮＧ⊥ＢＣ，∴∠ＮＧＢ＝９０°． 易知△ＡＢＭ≌△ＮＢＭ，且ＥＦ⊥ＡＢ，Ｅ为ＡＢ的中点， ∠ＦＥＢ＝９０°，ＡＢ＝ＢＮ， ∴四边形ＮＧＢＥ为矩形，∴ＢＥ＝ＮＧ． ∵ＢＥ＝１２ＡＢ＝ １ ２ＢＮ，∴ＮＧ＝ １ ２ＢＮ． （２）解：连结 ＡＮ．∵由折叠易知△ＡＢＭ≌△ＮＢＭ，且 ＥＦ⊥ ＡＢ，Ｅ为ＡＢ的中点，∴ＡＢ＝ＢＮ，ＮＡ＝ＢＮ，∴△ＢＡＮ为等边 三角形，∴∠ＡＢＮ＝６０°，∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴∠ＮＢＣ＝３０°． （３）∵四边形ＡＢＣＤ为矩形，∴∠Ａ＝∠ＭＮＢ＝９０°． ①当∠ＮＢＣ＝９０°，∠ＮＣＢ＝９０°时，都不符合题意，舍去． ②当∠ＢＮＣ＝９０°，Ｎ在矩形ＡＢＣＤ内部时（如图①）， ∵∠ＢＮＣ＝∠ＭＮＢ＝９０°，∴Ｍ、Ｎ、Ｃ三点共线． ∵ＡＢ＝ＢＮ＝３，ＢＣ＝５，∠ＢＮＣ＝９０°，∴ＮＣ＝４， 设ＡＭ＝ＭＮ＝ｘ（ｘ＞０），则ＭＤ＝５－ｘ，ＭＣ＝４＋ｘ， 在Ｒｔ△ＭＤＣ中，３２＋（５－ｘ）２＝（４＋ｘ）２，解得ｘ＝１． 图① ③当∠ＢＮＣ＝９０°，Ｎ在矩形ＡＢＣＤ外部时（如图②）， ∵∠ＢＮＣ＝∠ＭＮＢ＝９０°，∴Ｍ、Ｃ、Ｎ三点共线， ∵ＡＢ＝ＢＮ＝３，ＢＣ＝５，∠ＢＮＣ＝９０°，∴ＮＣ＝４． 设ＡＭ＝ＭＮ＝ｙ（ｙ＞０），则ＭＤ＝ｙ－５，ＭＣ＝ｙ－４． ∴在Ｒｔ△ＭＤＣ中，ＣＤ２＋ＭＤ２＝ＭＣ２， 即３２＋（ｙ－５）２＝（ｙ－４）２，解得ｙ＝９． 图② 综上所述，当ＡＭ＝１或９时，△ＢＮＣ是直角三角形． 第二十章整理与复习 知识点整理 一、１．ｘ　２． ｘ１ｆ１＋ｘ２ｆ２＋…＋ｘｋｆｋ ｎ 　权 二、１．正中间　平均数　２．最多 三、２．１ｎ［（ｘ１－ｘ） ２＋（ｘ２－ｘ） ２＋…＋（ｘｎ－ｘ） ２］ 点对点练习 １．Ｃ　２．Ｄ ３．Ｃ　解析：∵得４分的有１２人，占３０％，∴抽取的学生总人数 为４０人，∴得３分的人数为４０×４２．５％＝１７（人），得２分的 人数为４０－１７－１２－３＝８（人）， ∴抽取的学生的平均分数是３×１＋８×２＋１７×３＋１２×４４０ ＝ ２．９５（分）．故选Ｃ． ４．９５．８ ５．解：（１）平时测验的总成绩为 １３２＋１０５＋１４６＋１２９＝５１２（分）． 平时测验的平均成绩为 ５１２ ４ ＝１２８（分）． ∴小明该学期平时测验的平均成绩是１２８分． （２）总评成绩为１２８×１０％＋１３４×３０％＋１３０×６０％ ＝１３１（分）． ∴小明该学期的总评成绩是１３１分． ６．Ｂ　７．Ａ　８．Ｃ　９．９ １０．解：（１）１４４° （２）补全统计图如图所示． 乙校成绩条形统计图 （３）甲校成绩的平均分为８．３分，中位数为７分． 由于两校成绩的平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲校 成绩的中位数，所以从平均分和中位数的角度分析，乙校的 成绩较好． （４）因为选８名学生参加市级口语团体赛，甲校得１０分的 有８人，而乙校得１０分的只有５人，所以应选甲校． １１．Ａ　１２．Ｃ　１３．５０　 １４．解：（１）甲的平均成绩是 １６×（１０＋８＋９＋８＋１０＋９）＝ ９（环）， 乙的平均成绩是 １ ６×（１０＋７＋１０＋１０＋９＋８）＝９（环）． （２）甲的方差＝１６×［（１０－９） ２＋（８－９）２＋（９－９）２＋（８ －９）２＋（１０－９）２＋（９－９）２］＝２３，乙的方差 ＝ １ ６×［（１０ －９）２＋（７－９）２＋（１０－９）２＋（１０－９）２＋（９－９）２＋（８－ ９）２］＝４３． （３）推荐甲参加全国比赛更合适．理由： ∵２３＜ ４ ３，∴甲的方差比乙的方差小，所以甲比较稳定，推 荐甲参加全国比赛更合适． 第二十章综合自测卷 １．Ａ　２．Ｂ　３．Ｄ　４．Ｄ　５．Ｄ　６．Ｃ　７．Ａ　８．Ｂ ９．Ｄ　解析：∵数据３，５，７，ｍ，ｎ的平均数是７， ∴３＋５＋７＋ｍ＋ｎ＝７×５， ∴ｍ＋ｎ＝３５－３－５－７＝２０， ∴ｍ，ｎ的平均数是１０，故选Ｄ． １０．Ｃ　解析：设一组数据ａ１，ａ２，…，ａｎ的平均数为ｘ，方差是 ｓ２＝２，则另一组数据２ａ１，２ａ２，…，２ａｎ的平均数为 ｘ１＝２ｘ， 方差是ｓ２１， ∵ｓ２＝１ｎ［（ａ１－ｘ） ２＋（ａ２－ｘ） ２＋…＋（ａｎ－ｘ） ２］， ∴ｓ２１ ＝ １ ｎ［（２ａ１－２ｘ） ２＋（２ａ２－２ｘ） ２＋…＋（２ａｎ－２ｘ） ２］ ＝１ｎ［４（ａ１－ｘ） ２＋４（ａ２－ｘ） ２＋… ＋４（ａｎ－ｘ） ２］＝４ｓ２ ＝４×２＝８．故选Ｃ． １１．２０５　１２．１５岁　１３．１．１５ １４．１　解析：∵从小到大排列的五个数 ｘ，３，６，８，１２的中位数 是６，而再加入一个数，这六个数的中位数与原来五个数的 中位数相等，∴加入的数是６，∵这六个数的平均数与原来 五个数的平均数相等，∴ １５（ｘ＋３＋６＋８＋１２）＝ １ ６（ｘ＋３ ＋６＋６＋８＋１２），解得ｘ＝１． １５．解：Ａ的成绩：１４×０．６＋１８×０．１＋１２×０．３＝１３．８（分）， Ｂ的成绩：１８×０．６＋１６×０．１＋１１×０．３＝１５．７（分）， ∵１３．８＜１５．７， ∴应聘者Ｂ将被录用． １６．解：图略，提示：可绘制折线图．建议：进货时参考销售比例， 在不同季节制定不同的进货方案                                                                                                                                                                                                          ．