专题2.2 平行线重难点五大模型-2023-2024学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题2.2 平行线重难点五大模型 重难点题型归纳 模型一：“铅笔模型” 模型二：“猪蹄模型” 模型三：“臭脚模型” 模型四：“抬头模型” 模型五：平行线与动点综合问题 模型一：“铅笔模型” 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 【典例1】（2023秋•北碚区期末）如图，AB∥CD，点E是直线AB，CD之间一点． （1）如图1，求证：∠B+∠D+∠E＝360°； （2）如图2，若∠B＝120°，∠BED，∠CDE的平分线相交于点F．求∠DFE的度数； （3）如图3，若∠D＝α，∠EBF＝4∠ABF，∠BEF＝4∠DEF．请直接写出∠BFE的度数（用含α的代数式表示）． 【变式1-1】（2023春•宝坻区校级月考）如图，已知AB∥CD，∠A＝140°，∠C＝130°，求∠E的度数． 【变式1-2】（2023秋•西山区校级期末）（1）如图①，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝　　；如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝　　； （2）如图③，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝　　； （3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝80°，求∠BFD的度数． 【变式1=3】（2022秋•新野县期末）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上． 猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，试猜想∠P＝　　°； 探究：（2）在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论； 拓展：（3）将图①变为图②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度数． 模型二：“猪蹄模型” 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 【典例2】（2023秋•夏县期末）综合与探究 某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线a∥c，则b∥c．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题． 已知直线AB∥CD，点E在AB，CD之间，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ． （1）如图1，作EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE的数量关系，并说明理由； （2）如图2，∠EPF＝3∠BPF，∠EQF＝3∠DQF，求出∠F与∠E之间的数量关系； （3）如图3，直接写出∠1，∠2，∠E，∠F，∠G之间的数量关系：　 ． 【变式2-1】（2023春•建昌县期末）如图，将一个含30°角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边MN，PQ之间，则下列结论中：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠1+∠3＝90°；④若∠3＝60°，则AB⊥PQ，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（2023春•黔江区期末）如图，已知直线AB∥CD，点E在AB和CD之间，连接AE，CE，若∠2＝55°，∠3＝35°，则∠1＝　　°． 【变式2-3】（2023春•邵阳县期末）如图，直线AB∥CD，连接EF，直线AB，CD及线段EF把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点G落在某个部分时，连接GE，GF，构成∠EGF，∠GEB，∠GFD三个角． （1）当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：∠EGF，∠GEB，∠GFD三者的关系； （2）当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立，说明理由． 模型三：“臭脚模型” 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 【典例3】（2023春•中山区期末）如图，∠ABE+∠BED＝∠CDE． （1）如图1，求证AB∥CD； （2）如图2，点P在AB上，∠CDP＝∠EDP，BF平分∠ABE，交PD于点F，探究∠BFP，∠BED的数量关系，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，如图3，PQ交ED延长线于点Q，∠DPQ＝2∠APQ，∠PQD＝80°，求∠CDE的度数． 【变式3-1】已知AB∥CD． （1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°； （2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F．若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC． 模型四：“抬头模型” 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP