精品解析：江苏省常州市前黄高级中学2024届高三下学期一模适应性考试数学试题

省前中2024届高三第二学期一模适应性考试 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为定义集合与的运算：且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，且，则与夹角为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5 已知，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1，现有一个半径为的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触到杯底（盛酒部分），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（ ） A. 12 B. 24 C. D. 8. 已知函数与的图象有两个交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若m，n为正整数且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前项和为，的公差为，则（ ） A. B. C. 若为等差数列，则 D. 若为等差数列，则 11. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.那么（ ） A. 存在旋转函数 B. 旋转函数一定是旋转函数 C. 若为旋转函数，则 D. 若为旋转函数，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答） 13. 已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为__________． 14. 在正方体中，球同时与以A为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点若以F为焦点，为准线的抛物线经过，，设球，的半径分别为，，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在梯形中，，，. （1）若，求的长； （2）若，求. 16. 如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与均不重合）. （1）当点是棱的中点时，求证：直线平面； （2）当平面将正四棱柱分割成体积之比为的两个部分时，求线段的长度. 17. 已知过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，的面积为. （1）求抛物线的方程； （2）若为重心，直线分别交轴于点，记的面积分别为，求的取值范围. 18. 七选五型选择题组是许多类型考试的热门题型.为研究此类题型的选拔能力，建立以下模型.有数组和数组，规定与相配对则视为“正确配对”，反之皆为“错误配对”.设为时，对于任意都不存在“正确配对”的配对方式数，即错排方式数. （1）请直接写出的值； （2）已知. ①对和进行随机配对，记为“正确配对”的个数.请写出的分布列并求； ②试给出证明. 19. 若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”. （1）求证：对任意“好数”一定为20倍数； （2）若，且为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 省前中2024届高三第二学期一模适应性考试 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为定义集合与的运算：且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据定义用交并补依次化简集合，即得结果. 【详解】且 故选：B 【点睛】本题考查集合新定义、集合交并补概念，考查基本分析转化能力，属中档题. 2. 已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量垂直的充要条件、向量的数量积运算以及夹角公式进行计算求解. 【详解】因为，所以，即， 又，，所以， 解得， 又，则与夹角为. 故选：D. 3. “”是“”的（ ） A.