大题05数列（七大经典题型） -【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

大题05数列（七大经典题型） 数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高． 题型一：数列递推式 （2022•上海）数列对任意且，均存在正整数，，满足，，． （1）求可能值； （2）命题：若，，，成等差数列，则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由； （3）若，成立，求数列的通项公式． 1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝． 在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握． 注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子． （2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解． 【解题方法点拨】 数列的通项的求法： （1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式． （2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解． （3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝． （4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）． （5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）． （6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有， ①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an． ②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项． （7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明． 1．（2022秋•东城区期末）已知无穷数列满足公式设． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，求的值； （Ⅲ）给定整数，是否存在这样的实数，使数列满足： ①数列的前项都不为零； ②数列中从第项起，每一项都是零． 若存在，请将所有这样的实数从小到大排列形成数列，并写出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． 2．（2023秋•和平区校级月考）已知数列满足，记． （1）求，的值； （2）证明，并求数列的通项公式； （3）若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围． 3．（2022春•上海期末）已知为实数，数列满足：①；②． （1）当时，求的值； （2）求证：存在正整数，使得； （3）设是数列的前项和，求的取值范围，使数列为周期数列且方程有解（若数列满足：存在且，对任意且，成立，则称数列为以为周期的周期数列）． 4．（2020春•浦东新区校级期中）已知定义在上的函数和数列满足下列条件：，，当且时，且，其中、均为非零常数． （1）若是等差数列，求实数的值； （2）令，若，求数列的通项公式； （3）令，若，数列满足，若数列有最大值，最小值，且，求的取值范围． 5．（2022秋•南岗区校级期中）设是等差数列，是等比数列，且． （1）求与的通项公式； （2）设的前项和为，求证：； （3）求． 1．（2023•杨浦区二模）已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，，，． （1）写出数列前4项的所有可能取法； （2）判断：是否存在正整数，满足，并说明理由； （3）为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值． 2．（2023•浦东新区模拟）记为数的前项和，已知为正整数）． （1）求的值，并证明数列是等差数列； （2）求的表达式． 3．（2023•嘉定区模拟）已知，各项均不为零的数列的前项和为，，． （1）证明：； （2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由． 4．（2023•浦东新区校级一模）已知数列的前项和为，且，． （1）若数列是等差数列，且，求实数的值； （2）若数列满足，且，求证：数列是等差数列； （3）设数列是等比数列，试探究当正实数满足什么条件时，数列具有如下性质：对于任意的，都存在使得，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数的集合． 1．（2020•江苏）已知数列的首项，前项和为．设和为常数，若对一切正整数，