精品解析：河南省南阳市卧龙区博雅学校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

南阳市卧龙区博雅学校2024年春期高二年级开学考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知直线，下列说法中正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 是直线的一个方向向量 C. 直线的斜率为 D. 是直线的一个法向量 2. 抛物线的焦点在轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为3，则此抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 展开式中的常数项是（ ） A. B. 135 C. 1215 D. 4. 甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目标概率分别为，，则至少有一人命中目标的概率（ ） A. B. C. D. 5. 某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布．随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（ ） （注：若，，，） A. 0.8185 B. 0.84 C. 0.954 D. 0.9755 6. 已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知数列，则是这个数列的（　　） A 第20项 B. 第21项 C. 第22项 D. 第23项 8. 已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知圆：，直线：，则（ ） A. 直线与圆的轨迹一定相交 B. 直线与圆交于两点，则的最大值为 C. 圆上点到直线距离的最大值为 D. 当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1. 10. 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（ ） A. B. C. 事件与不互斥 D. 事件与相互独立 11. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 任意向量，，满足 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C. 已知，，，为空间向量一个基底，则向量，，能共面 D. 已知，，，则向量在向量上的投影向量是 12. 已知椭圆：的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当时，的最大值为 C. 存在点，使得 D. 的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若服从二项分布，则的期望为______． 14. 已知随机变量服从正态分布，且，则______. 15. 在数列中，若，则值为__________． 16. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为.若，则点的坐标为______；双曲线的渐近线方程为______. 四、解答题：本题共4小题，共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 17. 已知直线：与垂直，且经过点． （1）求的方程; （2）若与圆：相交于，两点，求． 18. 现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个. （1）求这个零件是次品的概率； （2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率. 19. 已知椭圆的离心率为，，分别是的左、右焦点，上的动点满足面积的最大值为． （1）求的方程； （2）过点且斜率为1的直线与交于A，B两点，求的面积． 20. 某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；（Ⅰ）求该小组中女生的人数；（Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 21. 如图所示，用平面 表示圆柱的轴截面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为母线 的中点，已知 为一条母线，且 ． （1）求证：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值． 22. 已知椭圆的左、右焦点为，，且经过点，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于（