专题09：数列（五大题型）-2024年新高考数学新题型试卷结构冲刺讲义

2024届新高考二轮复习第八讲：数列 1.（3）记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 2.（19）离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为． （1）若，求； （2）对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中； （3）已知．对，令．证明：． 题型一：等差数列 【典例例题】 例1.（2024春·新高考）设等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求． 【变式训练】 1.（2024春·新高考）已知数列的前n项和，则的值是（    ） A．8094 B．8095 C．8096 D．8097 2.（2024春·广州市华南师大附中）在数列中的相邻两项与之间插入一个首项为，公差为的等差数列的前项，记构成的新数列为，若，则前65项的和为（    ） A． B．-13 C． D．-14 3.（2024春·福建福州）已知数列的前项积为，且． (1)证明：是等差数列； (2)从中依次取出第1项，第2项，第4项……第项，按原来顺序组成一个新数列，求数列的前项和． 题型二：等比数列 【典例例题】 例1.（2024春·江西南昌）公比为的等比数列的前项和． （1）求与的值； （2）若，记数列的前项和为，求证：． 【变式训练】 1.（2024春·湖北省）各项为正的等比数列中，，则的前4项和（ ） A. 40 B. 121 C. 27 D. 81 2.（2024春·广东深圳）已知数列满足，且，则的值是（   ） A． B．5 C．4 D． 3.（2024春·广东省东莞市）在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 4.（2024春·深圳市宝安区）（多选）已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A.若，则是等比数列 B.若是等比数列，则 C.若，则是等比数列 D.若是等比数列，且，则 题型三：数列求和 【典例例题】 例1.（2024春·河南郑州）设为数列的前项和，已知，且为等差数列． （1）求证：数列为等差数列； （2）若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）． 【变式训练】 1.（2024春·安徽合肥）已知数列为等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，证明：． 2.（2024春·广东实验中学）已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，， 是数列的前项和.求 3.（2024春·广东省华附、深中、省实、广雅四校联考）已知数列的前项和满足. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 题型四：奇偶数列 【典例例题】 例1.（2024春·广州市）设数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前2n项和. 【变式训练】 1. （2024春·湖南长沙）已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ） A. 624 B. 625 C. 626 D. 650 2.（2024春·黑龙江）已知数列的前项和为，满足，． (1)若数列满足，求的通项公式； (2)求数列的通项公式，并求． 3.（2024春·广州市华南师大附中）已知数列的前项和为，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型五：数列情境题型 【典例例题】 例1.（2024下·山东菏泽）国际象棋是国际通行的智力竞技运动.国际象棋使用格黑白方格相间棋盘，骨牌为每格与棋盘的方格大小相同的格灰色方格.若某种黑白相间棋盘与骨牌满足以下三点：①每块骨牌覆盖棋盘的相邻两格；②棋盘上每一格都被骨牌覆盖；③没有两块骨牌覆盖同一格，则称骨牌构成了棋盘的一种完全覆盖.显然，我们能够举例说明格黑白方格相间棋盘能被骨牌完全覆盖. (1)证明：切掉格黑白方格相间棋盘的对角两格，余下棋盘不能被骨牌完全覆盖； (2)请你切掉格的黑白方格相间棋盘的任意两个异色方格，然后画出余下棋盘的一种骨牌完全覆盖方式，并证明：无论切掉的是哪两个异色方格，余下棋盘都能被骨牌完全覆盖； (3)记格黑白方格相间棋盘的骨牌完全覆盖方式数为，数列的前n项和为，证明：. 【变式训练】 1.（2024春·广东省揭阳市）从2019年初，某生产新能源汽车零件企业不断引进技术，此后每年的零件销售额均比上一年增加15%，已知该企业从2019年到2023年底的零件总销售额为202万元，则该企业2019年的销售额约为（参考数据：，）（ ） A. 30万元 B. 35.2万元 C. 40.4万元 D. 42.3万元 2.（2024春·新疆）中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：今有米二百四