精品解析：山东省青岛市即墨区2023-2024学年高二上学期1月教学质量检测数学试题

2023—2024学年度第一学期教学质量检测 高二数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回. 注意事项： 1.答第I卷前考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上， 2.选出每小题答案前，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效. 一､选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线y2=4x焦点坐标是 A. （0,2） B. （0,1） C. （2,0） D. （1,0） 2. 已知四面体中，为中点，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 3. 正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列的首项为1，公差为，若成等比数列，则（ ） A. 0或 B. 2或 C. 2 D. 0或2 5. 已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（ ） A B. C. 4 D. 2 6. 已知椭圆的左右焦点分别为，直线与交于两点，则的面积与面积的比值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 某公司为激励创新，计划遂年加大研发资金投入.若该公司2020年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司年投入研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：） A. 2024年 B. 2025年 C. 2026年 D. 2027年 8. 曲线围成图形的面积为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线与直线，下列说法正确的是（） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 直线恒过点 C. 若，则 D. 若，则 10. 关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ） A. 若数列前项和，则数列为等比数列 B. 若的前项和，则数列为等差数列 C. 若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D. 若数列为等差数列，为前项和，则成等差数列 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则在上的投影向量为 B. 若是四面体的底面的重心，则 C. 若，则四点共面 D. 若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 12. 已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为 B. 切线 C. 直线的方程为 D. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 直线在轴､轴上的截距分别是和，则直线的一般式直线方程为__________. 14. 若双曲线的渐近线与圆相切，则__________. 15. 如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使.已知，则__________. 16. 如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上， ，则的离心率为__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点. （1）求点到直线的距离； （2）求证：面. 18. 是坐标平面内一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为坐标原点）面积为6. （1）求动点的轨迹方程； （2）如图所示，斜率为且过的直线与曲线交于两点，点为线段的中点，射线与曲线交于点，与直线交于点.证明：成等比数列. 19. 已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前30项的和. 20. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面分别在梭上，为的中点. （1）若为中点，证明：面； （2）若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 21. 如图形状出现在南宋数学家杨浑所著《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球设各层球数构成一个数列. （1）写出与的递推关系，并求数列的通项公式； （2）记等比数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 22. 已知抛物线，点，过抛物线的焦点且平行于轴的直线与圆相切，与交与两点，. （1）求和圆的方程； （