7.2 余弦函数的图像与性质（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 7章 三角函数 7.2 余弦函数的图像与性质 学习目标 1.建立余弦函数的概念，通过平移将余弦函数转化为正弦函数（重点） 2.探讨余弦函数的图像与性质，掌握余弦函数的奇偶性、周期性、单调性、值域与最值等性质及其图像特征.（重难点） 情境导入 将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图(1)所示).在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.图(2)就是某个简谐运动的图象. 通过上述实验，你对余弦函数图象的直观印象是怎样的？ 【想一想】 【提示】余弦函数的图象是“波浪起伏”的连续光滑曲线. 我们知道，对于任意一个给定的实数，都有唯一确定的余弦值 与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做余弦函数，记作 余弦函数的定义域是实数集R． 1.余弦函数的图像 怎样作余弦函数的图像呢？ 当然，我们可以像对正弦函数一样，把任意角的余弦值 用角的终边与单位圆的交点的横坐标表示，用描点法作出余弦函数的图像 新课讲解 但是，由于已经知道了正弦函数的图像，我们可以简便地利用余弦函数与正弦函数的关系来作出余弦函数的图像．事实上，由于对任意的都成立，因此余弦函数与函数是同一个函数，从而它们的图像相同．由于将正弦函数 的图像向左平移就得到函数的图像，即的图像（图７-２-１）．余弦函数的图像通常称为余弦曲线． 观察余弦函数的图像，并对比正弦曲线，可知余弦曲线在区间上的五个关键点的坐标是 2.余弦函数的性质 利用余弦函数与正弦函数的关系，由正弦函数的性质就容易推出余弦函数的性质： （１）余弦函数是周期函数，均是它的周期，而２π是它的最小正周期 （２）余弦函数的值域是［－１，１］.当且仅当时， 取得最大值１；而当且仅当时， 取得最小值－１ （３）余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称 （４）余弦函数在区间上是严格增函数，而在区上是严格减函数． 例1.求下列函数的最大值与最小值，并求出取得最大值和最小值时所有x的值： 解 （１）令，则 当－１≤t≤１时，有－３≤t－２≤－１，从而 于是. 这样，y的最大值是６，此时 即 而y的最小值是－２，此时 即 （２）令，则 由即 由余弦函数的性质可知，在区间上是严格增函数，而在上是严格减函数． 又因为 所以y的最大值是１，此时即 从而 的最小值是，此时 即 从而 例２ 求函数的最小正周期及单调增区间 解： 因为 所以函数的最小正周期是π． 而的最小正周期是 ， 由余弦函数的单调性可知，当 即是严格增 函 数， 即 此 函 数 的 单 调 增 区 间 是 练习７．２ １．已知函数（其中常数ω＞０）的最小正周期为４π，求ω的值． ２．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： 　　 课本练习 【答案】（1）奇函数（2）奇函数（3）既不是奇函数也不是偶函数 ３．求函数 的最小正周期及单调区间． 1.函数y＝－cos x(x>0)的图像中与y轴最近的最高点的坐标为（ ） B．(π，1) C．(0，1) D．(2π，1) 【答案】B； 【解析】用五点作图法作出函数y＝－cos x(x>0)的一个周期的图像如图所示， 由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)； 随堂检测 3.在(0，2π)内使sin x>|cos x|成立的x的取值范围是 【解析】因为，sin x>|cos x|，所以，sin x>0，所以，x∈(0，π)； 在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图像， 如图： 5.cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是 (用“>”连接) 【答案】cos 1>cos 2>cos 3 【解析】因为，0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π]上单调递减，所以，cos 1>cos 2>cos 3； 6.函数y＝|cos x|的最小正周期为 ； 【答案】π； 【解析】作出函数y＝|cos x|的图像，如图所示； 观察图像可知此函数的周期是π.