第3.1讲 新结构题型中第18题考点预测之圆锥曲线综合-备战2024年高考数学高频考点必刷题型精讲+精练（新高考通用）

2024年高考数学高频考点必刷题型精讲+精练（新高考通用） 第3.1讲 新结构题型中第18题考点预测之圆锥曲线综合 本节题目专门针对新结构题型的18题（17分），难度系数略大 ①弦长、面积问题 ②中点弦问题 ③定点问题 ④定值问题 ⑤定直线问题 题型一：弦长、面积问题 【例1】（2024下·甘肃武威·高三民勤县第一中学校考开学考试）已知椭圆的右焦点为，设直线：与轴的交点为，过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点. (1)若，求直线的倾斜角； (2)设直线交直线于点. ①求直线的斜率； ②求的值. 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）依题设出直线方程，与椭圆方程联立，根据弦长公式列出方程，解之即得； （2）①求出点的坐标，得到直线的方程，与直线联立求得点坐标，表示出直线的斜率表达式，消元后，运用韦达定理化简即得； ②分别利用两点之间距离公式和点到直线距离公式计算化简即得. 【详解】（1）当直线的斜率为0时，,不合题意； 如图,可设，由消去，整理得：，显然，设， 则得：于是， 解得，故直线的斜率为，倾斜角为或. （2）①因为线段的中点，易得，直线的直线方程为， 令，得，则，于是，直线的斜率为：， 而， 故直线的斜率为0； ②由①知，故，因点在椭圆上，故有， 从而， 因，则，故. 【例2】（2024·山西·校联考模拟预测）已知为椭圆的右焦点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，，且． (1)求的取值范围； (2)过点作直线与椭圆交于点，，直线的倾斜角比直线的倾斜角大，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程组，由弦长公式计算求解即可； （2）解法一：设直线的倾斜角为，将四边形的面积转化为关于的表达式，利用函数的单调性即可得解； 解法二：结合（1）中结论，将四边形的面积转化关于的表达式，再利用导数求得其最大值，从而得解. 【详解】（1）设，，易知， 联立消去，得． ，，， ． 又， . （2）如图： 解法一：设直线的倾斜角为，则． 由（1）知． 直线的倾斜角为， 同理可知． ， ． 令，则． ， 当时，取最大值． 解法二：依题意，，直线的倾斜角比直线的倾斜角大， 直线的斜率存在． 不妨设直线的方程：，且，． 由（1）同理得， 则 又， ， 令，， ， 解方程，得． 在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，． ，时，，， ． 一、解答题 1．（2024上·上海·高三曹杨二中校考期末）已知椭圆：，是其左顶点，过点且不与轴重合的直线与交于、两点. (1)若直线垂直于轴，求线段的长度； (2)若，且点在轴上方，求、两点的坐标； (3)设直线与轴交于点，直线与轴交于点，是否存在直线，使得的面积是的两倍？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 2．（2024上·浙江金华·高三统考期末）已知点是圆的动点，过作轴，为垂足，且，，记动点，的轨迹分别为，． (1)证明：，有相同的离心率； (2)若直线与曲线交于，，与曲线交于，，与圆交于，，当时，试比较与的大小． 3．（2024上·山东青岛·高三青岛二中校考期末）已知椭圆的离心率，其上焦点与抛物线的焦点重合.    (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线交椭圆T于点、，同时交抛物线于点、（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），判断与的大小关系，并证明； (3)若过点的直线交椭圆于点、，过点与直线垂直的直线交抛物线于点、（如图2所示），判断四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由. 4．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为.若抛物线与直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与交于不同的两点为坐标原点，直线与交于点.连接，过点作的垂线与交于点.求证：三点共线. 5．（2024上·湖南益阳·高三统考期末）已知椭圆，过椭圆上一动点引圆的两条切线为切点，直线与轴、轴分别交于点． (1)已知点坐标为，求直线的方程； (2)若圆的半径为2，且，过椭圆的右焦点作倾斜角不为0的动直线与椭圆交于两点，点在轴上，且为常数，求的面积的最大值． 6．（2024下·重庆·高三重庆一中校考开学考试）在平面直角坐标系中，过直线上任一点作该直线的垂线，，线段的中垂线与直线交于点． (1)当在直线上运动时，求点的轨迹的方程； (2)过向圆引两条切线，与轨迹的另一个交点分别为，． （i）证明：直线与圆也相切； （ii）求周长的最小值． 7．（2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）设，是抛物线上异于的两点． (1)设直线，，的斜率分别为，，，求证：； (2)设直线经过点，若上恰好存在三个点，使得的面积等于，求直线的方程． 8．（2024·广东深圳·统考一模）已知动点与定点