专题2.2 行程问题与工程问题——二元一次方程组（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题2.2 行程问题与工程问题——二元一次方程组 · 知识点总结 一、行程问题（匀速运动） 基本关系：路程=速度×时间 1.相遇问题 ①相遇问题（同时出发） 确定行程过程中的位置路程 相遇路程÷速度和＝相遇时间 相遇路程÷相遇时间＝速度和 ②相遇问题（直线） 甲的路程＋乙的路程＝总路程 ③相遇问题（环形） 甲的路程＋乙的路程＝环形周长 2.追及问题 ①追及问题（同时出发）： 追及时间＝路程差÷速度差 速度差＝路程差÷追及时间 追及时间×速度差＝路程差 ②追及问题（直线） 距离差＝追者路程-被追者 路程＝速度差×追及时 ③追及问题（环形） 快的路程—慢的路程＝曲线的周长 3.水中航行 顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速—水速）×逆水时间 顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速—水速 静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度—逆水速度）÷2 二、工程问题 基本关系：工作量＝工作效率×工作时间（常把工作量看成单位“1”）。 · 典例分析 【典例1】已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． （1）若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值； （2）若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？ 【思路点拨】 （1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可； （2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可． 【解题过程】 （1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等， ∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km． ∴由题意得：， 解得：； 即a和b的值分别为60，40； （2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等， ∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时 ∴由题意得： 解得：； ∴甲车前一半的时间为：， 由于，则乙h时行的路程为：， ∵， ∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km， ∴相遇时甲车还没行驶到60km， ∴相遇时间为：， 则离A地的路程为：． 即：两车相遇时，离A地． · 学霸必刷 1．（2023上·重庆·七年级西南大学附中校考期末）桥长 1000米，现有一列匀速行驶的货车从桥上通过，测得货车从上桥到完全过桥共用了 60秒，而整个货车在桥上的时间是 40秒，求货车的长度和速度． 2．（2023下·广东江门·七年级江门市怡福中学校考阶段练习）A市到B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分．求飞机的速度与风速． 3．（2023下·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟相遇一次；已知甲比乙跑得慢，甲、乙二人每分各跑多少圈？ 4．（2023下·山东淄博·八年级校考期中）小红家离学校1400米．其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？ 5．（2023上·安徽合肥·七年级校考阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？ 6．（2023下·山东泰安·七年级统考期中）甲、乙两班同时从学校出发去距离学校的军营军训，甲班学生步行速度为，乙班学生步行速度为，学校有一辆汽车，该车空车速度为，载人时的速度为，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？ 7．（2023下·辽宁盘锦·七年级校考期中）小红和小明是好朋友，小红每天步行上学且所需时间保持不变，小明骑自行车或步行上学，骑自行车速度为240米/分，步行速度为80米/分，下面是两人的对话，请根据对话内容计算：小明从家到学校的路程和小红从家到学校的时间． 小明：如果我骑车，你步行，那么我从家到学校比你少用4分钟 小红：如果我俩都步行，那么我从家到学校比你少用2分钟． 8．（2023下·重庆渝中·七年级重庆市求精中学