专题4.1 与三角形有关线段的综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题4.1 与三角形有关线段的综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 二、三角形的角平分线、中线和高 1.从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 2.三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 3.三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 4.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． 5.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． · 典例分析 【典例1】【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．    【深入探究】 （1）如图2，点在的边上，点在上． ①若是的中线，求证：； ②若，则______． 【拓展延伸】 （2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形． ①求证：； ②若，则______． 【思路点拨】 （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，即可证明； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【解题过程】 （1）①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即； ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图：    ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②15， 解：由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． · 学霸必刷 1．（2023下·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　） A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6 2．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考阶段练习）如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）如图，在中，D是边上的中点，，，连接交于点P，则的值为（　　）    A． B． C． D． 4．（2023下·江苏无锡·七年级统考期中）如图，△ABC中，点D、E分别在边和上，，，和相交于点M，比的面积大2，则的面积为（    ）． A．9 B．10 C．11 D．12 5．（2023下·贵州毕节·七年级统考期末）如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 6．（2023下·七年级课时练习）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是 7．（2023下·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）若△ABC中AB＝AC，且面积为定值，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF．当PF＝3，C到AB的距离CH＝7时，P到AB的距离为 ． 8．（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，都是的高，过点A作交的延长线于点F，，，若，，则 ．    9．（2022上·广东广州·七年级校考开学考试）如图，在三角形中，是边上靠近的三等分点，是的中点，已知三角形的面积为3，那么图中两个阴影三角形面积之和是 ． 10．（20