专题01 与三角形、特殊四边形有关问题的压轴题之四大题型-【满分备考攻略】2024年中考数学压轴题型专项集训（江苏南京专用）

专题01 与三角形、特殊四边形有关问题的压轴题之四大题型 目录 【题型一 与三角形有关问题的压轴题】 1 【题型二 与矩形有关问题的压轴题】 12 【题型三 与菱形有关问题的压轴题】 20 【题型四 与正方形形有关问题的压轴题】 28 【典型例题】 【题型一 与三角形有关问题的压轴题】 例题：（2023·江苏南京·统考一模）P为内一点，连接在和中，如果存在两个三角形相似，那么称P是的内相似点．    【概念理解】 (1)如图①，在中，，P是的内相似点．直接写出的度数． 【深入思考】 (2)如图②，P是内一点，连接，从下面①②③中选择一个作为条件，使P是的内相似点，并给出证明． ①；②；③． 【拓展延伸】 (3)如图③，在中，．求作一点P，使P是的内相似点．要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【变式训练】 1．（2023·江苏南京·校联考三模）如图，在中，，，是的中点，点在内部且满足．若，，则的长为 ．    2．（2023·江苏南京·校联考三模）在平面内，两个面积相等的三角形，若有顶点重合，且重合顶点所在的角相等，则称这两个三角形关于这个顶点成“等角等积三角形”． 例如：如图①，在和中，若，，则和关于点Ａ成“等角等积三角形”．    (1)如图②，，求证：； (2)如图③，在中，，为上的一点，连接．用直尺和圆规作一个点，使和关于点成“等角等积三角形”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．    (3)如图④，，，为射线上一点，作，使、位于的两侧，，，连接，则长的最大值为______． 3．（2023·江苏南京·校考三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：      【观察与猜想】 (1)如图，在正方形中，，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为___________； (2)如图，在矩形中，，，是上的一点，连接，，若，则的值为___________； 【类比探究】 (3)如图，在四边形中，，为上一点，连接，过作的垂线交的延长线于，交的延长线于，求证：； 【拓展延伸】 (4)如图4，在中，，，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交于，垂足为，连接．若，则的最小值为___________． 【题型二 与矩形有关问题的压轴题】 例题：（2023·江苏南京·校联考三模）如图，将矩形绕点旋转，使点落在对角线上的处，延长交于点．若，，则的长为 ．    【变式训练】 1．（2023·江苏南京·统考二模）如图，在矩形中，，点在上，的平分线交于点．若，则 ．    2．（2023·江苏南京·校联考模拟预测）如图，四边形中，，E是的中点，过点E作交于F，则的长为 ． 3．（2022·江苏南京·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝6，点G，E分别在边AB，AD上，∠EGF＝90°，EG＝FG，GF，EF分别交BC于点N、M，连接EN． (1)当GN平分∠ENB时，求证：EN＝AE+BN； (2)当MF2＝MN•BM时，求AE的值． (3)当点E是AD的中点，点Q是EN的中点，当点G从点A运动到点B时，直接写出点Q运动的路径长． 【题型三 与菱形有关问题的压轴题】 例题：（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在中，对角线交于点O，E是延长线上的点，且是等边三角形． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求证：四边形是正方形． 【变式训练】 1．（2023·江苏南京·统考二模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点在上，连接并延长，交于点．若，，则四边形的周长是 ． 2．（2023·江苏南京·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴上，M，N分别是边的中点，若点M，N的纵坐标分别是3，2，则点B的坐标是 ．    3．（2023·江苏南京·校联考三模）如图，在中，，位于，上，，分别平分，． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)若，，当的长为______时，四边形是菱形 4．（2022·江苏南京·模拟预测）【探究发现】 (1)如图1，正方形ABCD两条对角线相交于点O，正方形与正方形ABCD的边长相等，在正方形绕点O旋转过程中，边交边AB于点M，边交边BC于点N． ①线段BM、BN、AB之间满足的数量关系是________； ②四边形OMBN与正方形ABCD的面积关系是________； 【类比探究】 (2)如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“含60°的菱形ABCD”，即，且菱形与菱形ABCD的边长相等．当菱形绕点O旋转时，保持边交边AB于点M，边交边BC于点N． 请猜想： ①线段BM、BN与AB之间的数量关系是_________________；