专题03 与圆有关问题的压轴题之五大题型-【满分备考攻略】2024年中考数学压轴题型专项集训（浙江专用）

专题03 与圆有关问题的压轴题之五大题型 目录 【题型一 与圆中三角形全等的有关问题】 1 【题型二 与圆中三角形相似问题的有关问题】 5 【题型三 与圆中证明直线是切线的有关问题】 29 【题型四 与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】 41 【题型五 与圆中求函数表达式的有关问题】 50 【典型例题】 【题型一 与圆中三角形全等的有关问题】 例题：（2023·浙江杭州·统考二模）如图，四边形内接于，点C是弧的中点，延长到点E，使得，连结．    (1)求证：． (2)若，，，求的长 【变式训练】 1．（2023·浙江·一模）如图1，为的直径，于点，，与交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)连结，如图2，求证：． 【题型二 与圆中三角形相似问题的有关问题】 例题：（2023·浙江宁波·校考一模）如图，已知是的直径，点D为延长线上的一点，点A为圆上一点，且，．    (1)求证：； (2)求证：是的切线． 【变式训练】 1．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，点是外接圆上一点，其中．过点作的平行线交延长线于点，已知平分．    (1)求证：． (2)若为中点，求的长． 2．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考三模）如图，内接于，且，是的直径，，交于点，为的延长线上一点，且．    (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若为的中点，求的值． 3．（2023·浙江·统考三模）如图，是的直径，半径，点在上，连接并延长交于点，连接．    (1)求的值． (2)当时，求的值． (3)若，与的面积分别记为，，求的值． 4．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．    (1)求的度数． (2)①求证：． ②若，求的值， (3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 5．（2023上·浙江温州·九年级期末）等腰三角形中，且内接于圆O，D、E为边上两点（D在F、E之间），分别延长、交圆O于B、C两点（如图1），记，．      (1)求的大小（用α，β表示）； (2)连接，交于H（如图2）．若，且．求证：； (3)在（2）的条件下，取中点M，连接、（如图3），若， ①求证：， ； ②请直接写出的值． 6．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点是的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点．    (1)求证： ； (2)若，求的值； (3)连结交于点，若的半径为5 ①若，求的长； ②若，求的周长； ③若，求的面积． 7．（2023下·浙江·九年级校联考阶段练习）如图，四边形内接于，，为直径，为一动点，连结交于点，交于点，连结．    (1)设为，请用表示的度数． (2)如图1，当时， ①求证：． ②当时，求半径的长． (3)如图2，当过圆心时，若，直接写出的值（用含的代数式表示．） 【题型三 与圆中证明直线是切线的有关问题】 例题：（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）如图，以的一边为直径作，与边的交点恰好为的中点，过点作．    (1)求证：为圆O的切线； (2)连接交于点F，若，求的值． 【变式训练】 1．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）如图，直线经过上的点M，并且，交于点N． (1)求证：直线是的切线； (2)当时，求的度数． 2．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）如图，是的直径，是的切线，切点为B，连接PO，过点C作交于点A，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为3，求的长． 3．（2023·浙江金华·统考一模）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E．作于点F，于点G．    (1)求证：是的切线． (2)已知，，求的半径． 4．（2023·浙江杭州·校联考二模）如图①，是的外接圆，点在上，延长至点，使得．    (1)求证：为的切线； (2)若的角平分线交线段于点，交于点，连接，如图②，其中，，求． 5．（2023·浙江杭州·校考三模）如图是的直径，A是上异于C、D的一点，点B是延长线上的一点，连接，且．    (1)求证：直线是的切线； (2)若， ①求的值； ②作的平分线交于点P，交于点E，连接，若，求的值（用含k的代数式表示）． 【题型四 与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】 例题：（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，为边上一点，连结．以为半径的半圆与边相切于点，交边于点． (1)求证：． (2)若． ①求半圆的半径． ②求图中阴影部分的面积． 【变式训练】 1．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，已知，在中，，以为直径作，交边的中点．于点，连结．    (1)求证：是的切线． (2)请你给添加一