专题08 倍长中线法和截长补短法综合应用-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题08 倍长中线法和截长补短法综合应用 倍长中线 类型一：直接倍长中线 △ABC中AD是BC边中线 方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE 类型二：间接倍长中线 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E连接BE 。 延长MD到N， 使DN=MD，连接CN 截长补短 常见类型及常规解题思路： ① 可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型②证明。 ② 可以将与构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为的直角三角形等。 截长法常规辅助线： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 补短法常规辅助线： （1） 延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起 类型一：倍长中线法 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中线AD＝c，求c的取值范围． 【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF． 【典例3】如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF． 【变式1】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则△ABC的周长为 　 　． 【变式2】如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为 　 　． 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AB边上一点，DF⊥DE交AC于点F，连接EF，若BE＝2，CF＝，则EF的长为 　 　． 【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，点E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，AF与DE，DB分别交于点G，H，求GH的长． 【变式5】如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为BC，AB上的点，且点F为AB的中点，连接DF，DE． （1）如图①，若DF平分∠ADE，求证：AD+BE＝DE； （2）如图②，若四边形ABCD是边长为4的正方形，当ED平分∠FDC时，求EC的长． 【变式6】阅读下面材料，并按要求完成相应的任务． 如图①，圆内接四边形的对角线AC⊥BD，垂足为G，过点G作AD的垂线，垂足为E，延长EG交BC于点F，则点F为BC的中点． 下而是部分证明过程： ∵AC⊥BD，EF⊥AD， ∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°， ∴∠EDG＝∠FGC． ∵∠ADB＝∠ACB， … 任务一：请将上述过程补充完整； 任务二：如图②，在△ABC中，把边AC绕点C顺时针旋转90°得到DC，把边BC绕点C逆时针旋转90°得到EC．连接DE，取AB的中点M，连接MC并延长交DE于点N． （1）求证：MN⊥DE； （2）若AC＝4，AB＝6，∠CAB＝30°，求DE的长． 类型二：截长补短 【典例4】模型分析 当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明． 问题： 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC． 截长法： 在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可． 补短法： 延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可． 请结合右边的证明结论．求证：AB+BD＝AC． 请结合右边的【模型分析】证明结论． 求证：AB+BD＝AC． 【截长法】 【补短法】 【变式1】如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，求证：AD＝BD+CD． 【变式2】如图，Rt△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于点E．求证：AD＝2DF+CE． 【变式3】如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的一条弦，且＝，过点A作AP⊥CD，分别交CD，⊙O于点E，P，连接BP，若CD＝6，△ABP的周长为13，求AE的长． 【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB左侧作∠BDC＝∠BAC＝α，过点A作AE⊥DC于点E． （1）当α＝9