第13讲 梯形（七大题型）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第13讲 梯形（七大题型） 1．理解梯形的有关概念，理解直角梯形和等腰梯形的概念． 2．掌握等腰梯形的性质和判定． 3．初步掌握研究梯形问题时添加辅助线的方法，使问题进行转化． 4. 熟练运用所学的知识解决梯形问题． 5. 掌握三角形，梯形的中位线定理. 知识点一、梯形的概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角. 要点：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行. （2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等. （3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底. 知识点二、等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 要点：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质. （2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行. （3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的. 知识点三、等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 知识点四、辅助线 梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是： 　 方法 作法 图形 目的 平 移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个三角形 过一腰中点作另一腰的平行线 构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的平行线 构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形 作高 过一底边的端点作另一底边的垂线 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等 延 长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于一点 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换 知识点五、三角形、梯形的中位线 联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 题型1：梯形的概念辨析 题型2：根据特殊梯形的性质或判定求长度、角度面积等 题型3：梯形、特殊梯形的判定 题型4：梯形的中位线 题型5：三角形的中位线 题型6：中点四边形 题型7：梯形解答综合题 题型1：梯形的概念辨析 【典例1】．下列命题中，错误的是（     ） A．一组对边平行的四边形是梯形； B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； C．对角线相等的平行四边形是矩形； D．一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【典例2】．下列命题中，假命题有（    ） ① 有两个角相等的梯形是等腰梯形； ② 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形； ③ 一组对角互补的梯形是等腰梯形； ④ 等腰梯形是轴对称图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例3】．下列四个命题中，假命题是（       ） A．有两个内角相等的梯形是等腰梯形 B．等腰梯形一定有两个内角相等 C．两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D．等腰梯形的两条对角线相等 题型2：根据特殊梯形的性质或判定求长度、角度面积等 【典例4】．等腰梯形的一个下底角为，上底长和梯形的高均为3，则梯形的周长等于 ． 【典例5】．等腰梯形的对角线为17，底边分别为10和20，则梯形的面积是 ． 【典例6】．如图，在等腰梯形中，，对角线，，，则梯形的面积为 ． 【典例7】．已知等腰梯形的中位线长为9，对角线互相垂直，那么该梯形的一条对角线长是 ． 【典例8】．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则一条对角线与底边的夹角是 ． 【典例9】．等腰梯形的对角线互相垂直，两底之和为16，那么这个梯形的面积