1.2 一元二次方程的解法（第6课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

1.2　一元二次方程的解法（6） 第6课时　因式分解法 学习目标 1．会用因式分解法解一元二次方程，体会转化思想； 2．会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. 2 知识回顾 什么叫因式分解？ 因式分解有哪些方法？ 因式分解的基本步骤是什么？ 知识回顾 解下列方程： (1) (x＋2)2 =1； (2) x2－x=0. 直接开平方法 解：(1)∵ (x＋2)是1的平方根， ∴ x＋2 =±1， ∴ x=－2±， 即x1=－1，x2=－3. 你能想到几种解法？ 配方法 公式法 (2)配方，得 x2－2x= , ( x－ )2 = . 解这个方程，得 x－=±， 所以 x1=1，x2=0. 知识回顾 解下列方程： (2) x2－x=0. (2) ∵a=1、b=－1、c=0， b2－4ac=(－1)2-4×1×0=1＞0， ∴ ， ∴ . 还有其他方法吗？ 尝试与交流 x2－x可以化为x(x－1) 解方程 x(x－1)=0就转化为解x=0或x－1=0 尝试与交流 x(x－1)=0. 解：将方程的左边因式分解，得 此时x和x－1两个因式中至少有一个为0， x2－x=0 即 x=0或x－1=0， 所以 x1=0或x2=1. 二次转化为一次 获取新知 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元一次方程的方法叫做因式分解法. 讨论与交流 1. 能用因式分解法解的一元二次方程须满足什么样的条件 ？ （1）方程的一边为0; （2）另一边能分解成两个一次因式的积. 2. 因式分解法的解题原理是什么？ 如果a·b=0，那么a＝0或b＝0. 9 新知应用 下面哪些方程用因式分解求解比较简单？ (1) x2－2x－3＝0； (2) (2x－1)2－1＝0； (3) (x－1)2－18＝0； (4) 3(x－5)2＝2(5－x). 例题讲解 例1 解下列方程： (1) x2＝－4x； (2) x＋3－x(x＋3)＝0. 解：(1)原方程可变形为 x2＋4x=0， x(x＋4)＝0. x＝0或x＋4＝0. 所以 x1＝0，x2＝－4． (2) 原方程可变形为 (x＋3)(1－x)＝0. x＋3＝0或1－x＝0. 所以 x1＝－3，x2＝1． 例题讲解 例2 解下列方程： (1) (2x－1)2－x2＝0； (2) 9x2－6x＋1＝0. 解：(1)原方程可变形为 (2x－1＋x) (2x－1－x)=0， 即 (3x－1) (x－1)=0. 3x－1＝0或x－1＝0. 所以 x1＝，x2＝1． (2) 原方程可变形为 (3x－1)2=0， 3x－1=0. 所以 x1＝x2＝． 12 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 讨论与交流 一般步骤 方 法 一移 移项 将方程的右边化为0 (注意变号) 二分 化积 将方程的左边分解为两个一次式的乘积 三化 转化 令每一个一次式分别为0，转化为两个一元一次方程 四解 求解 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 各求解. 口诀： 右化零， 左化积， 两因式， 13 用因式分解法求解的方程有哪些基本类型？ 讨论与交流 常见类型 使用方法 因式分解 方程的解 x2＋bx=0 提公因式 x(x＋b)=0 x1=0，x2=－b x2－a2=0 平方差公式 (x－a) (x＋a)=0 x1=－a，x2=a x2±2ax＋a2=0 完全平方公式 (x±a)2=0 x1=x2=a 14 新知巩固 1. 用因式分解法解下列方程： (1) x2－3x＝0； (2) 3x2＝x； (3) 2(x－1) ＋x(x－1)＝0； (4) 4x(2x－1)＝3(2x－1). x1＝0，x2＝3 x1＝0，x2＝ x1＝1，x2＝－2 x1＝，x2＝ 15 新知巩固 2. 用因式分解法解下列方程： (1) (x＋1)2－9＝0； (2) (x－2)2－9(x＋1)2＝0； (3) (x－1)2－2(x－1)＋1＝0. x1＝－4，x2＝2 x1＝－，x2＝－ x1＝x2＝2 (4) (x＋1)2＋8(x＋1)＋16＝0. x1＝x2＝－5 16 讨论与归纳 我们已经学习了哪些解一元二次方程的方法？ 每种解法所对应的方程有何特点？ 17 讨论与归纳 方 法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要优、缺点 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 平方根的定义 能化为 (ax＋b)2＝n (a、b、n为常数，a≠0、n≥0) 开平方 求解迅速、准确，但只适用于一些具有特殊形式的方程 完全平方公式 所有一元二次方程 配方 解法繁琐，但当二次项系数为1时，此法较简单 配 方 所有一元二次方程 代入 求根公式 计算量大， 易出现符号错误 若a·b=0， 则a＝0或b＝0 能化为一边为0，另一边为两个因式的乘积的形式的方程 分解因式 求解迅速、准确， 但适用范围较小 18 例题讲解 例3 用适当的方法解方程： (1) 2(x－1)2－18＝0 ； 解：(1)整理，得(x－1)2＝9. 开平方，得x－1＝±3， 即x－1＝3或x－1＝－3， ∴ x1＝4，x2＝－2. 直接开平方法 (2) x2＋4x－1＝0； (2) 原方程变形为x2＋4x＝1. 配方，得x2＋4x＋22＝1＋22， 即(x＋2) 2＝5. 可得x＋2＝±， ∴ x1＝－2＋， x2＝－2－ . 配方法 19 (3) 3x(x＋5)＝5(x＋5)； 例题讲解 例3 用适当的方法解方程： 因式分解法 (4) 9x2＝12x＋1. (3) 原方程可变形为 (3x－5) (x＋5)＝0. 3x－5＝0 或 x＋5＝0. 所以x1＝，x2＝－5. (4) 原方程可变形为9x2－12x－1＝0. ∵ a＝9，b ＝－12，c＝－1， ∴ b2－4ac ＝(－12)2－4×9×(－1) ＝ 144＋36 ＝ 180＞0， ∴x== , 即 x1＝， x2＝ . 公式法 20 新知巩固 ①x2－3x＋1＝0 ； ②3x2－1＝0； ③－3t2＋t＝0； ④x2－4x＝2 ； ⑤2x2－x＝0； ⑥5(m＋2)2＝8； ⑦3y2－y－1＝0； ⑧2x2＋4x－1＝0； ⑨ (x－2)2＝2(x－2). 适合运用直接开平方法_______________； 适合运用因式分解法_________________； 适合运用公式法_____________________； 适合运用配方法_____________________. ⑥ ② ③ ⑤ ⑨ ① ④ ⑦ ⑧ 填空: 21 观察与思考 原方程可变形为 (x＋2)2－4(x＋2)＝0， (x＋2)(x－2)＝0. x＋2＝0或x－2＝0. 所以 x1＝－2, x2＝2. 原方程两边都 除以(x＋2)，得 x＋2＝4． 所以 x＝2． 小明、小丽的解法，哪个正确？说说你的想法. 解方程 (x＋2)2＝4(x＋2). 小明、小丽的解法如下： 失去了一个根 22 课堂总结 因式分解法的概念 根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程 因式分解法的步骤 当堂检测 基础过关 1. 方程 x(3x＋2)＝0的解为 ( ) C A. x＝0 B. x＝－ C. x1＝0，x2＝－ D. x1＝0，x2＝ 24 2. 方程x(x＋1)＝x＋1的两个根为 ( ) A. x1＝1， x2＝0 B. x1＝－1，x2＝1 C. x1＝－1， x2＝0 D. x1＝1，x2＝1 当堂检测 基础过关 B 25 当堂检测 基础过关 3.在解方程x2－2x－3＝0时，下列说法错误的是 ( ) D A.可以用配方法 B.可以用公式法 C.可以用因式分解法 D.只能用因式分解法 26 当堂检测 基础过关 4.用因式分解法解方程(y－3)2－(3y－4)2＝0时，可将该方程转化为两个一元一次方程： ______________________________， 方程的解为__________________. y－3＋3y－4＝0，y－3－3y＋4＝0 y1＝－，y2＝　 27 当堂检测 基础过关 5. 用因式分解法解下列方程： (1) 25t2＋100t＝0； t1＝0，t2＝－4 (2) 16y2－9＝0； y1＝，y2＝－ (3) x2＋7＝－2x； x1＝x2＝－ (4) (2x－1)2＝3(1－2x). x1＝，x2＝－1 28 当堂检测 基础过关 6. 观察下列方程，先确定用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中的什么方法解答，再写出解答过程. (1) (x－1)2＝6； 直接开平方法 x1＝1＋， x2＝1－ (2) x2－6x＝4； 配方法 x1＝3＋，x2＝3－ 29 当堂检测 基础过关 6. 观察下列方程，先确定用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中的什么方法解答，再写出解答过程. (3) 2x2＋1＝3x； 公式法 x1＝1，x2＝ (4) 25(2x－1)2＝4(3x＋2)2. 直接开平方法或因式分解法 x1＝，x2＝ 30 当堂检测 综合提升 1.若关于x的方程x2＋ax＋b＝0的两根为2与－3，则二次三项式x2＋ax＋b可分解为(　　) A.(x－2)(x＋3)   B.(x＋2)(x－3) C.2(x－2)(x＋3)   D.2(x＋2)(x－3) A 31 A. (x＋2)2－9＝0 当堂检测 综合提升 2.下列方程中，最适合用公式法求解的是 ( ) D B. x2＝1 C. x2＋2x－24＝0 D. x2－3x－1＝0 32 当堂检测 综合提升 3. 已知(x＋y)(x＋y＋2)－8＝0，则x＋y的值是________. 4. 已知△ABC的两边长分别为6和3，第三边的长是方程x2－8x＝10(x－8)的根，则△ABC的周长为_______.  －4或2 17　 33 当堂检测 综合提升 (1) (5x－1)(2x＋4)＝3x＋6； x1＝－2，x2＝ (2) 4(x－5)2＋4(5－x)＋1＝0. x1＝x2＝ 5. 用适当的方法解下列方程： 34 当堂检测 综合提升 6. 已知关于x的方程(m－2)x2－2(m－1)x＋m2＝0有一个根为1，求m的值，并求这个方程的根. 解：∵方程(m－2)x2－2(m－1)x＋m2＝0有一个根为1， ∴(m－2)－2(m－1)＋m2＝0， 即m2－m＝0，解得m＝0或m＝2. 当m＝0时，方程为－2x2＋2x＝0，它的根为x1＝0，x2＝1； 当m＝2时，方程为－2x＋2＝0，它的根为x＝1. 35 2021 Blues 4800.0 $$