2024年高考数学数列压轴题专项训练

2024年高考数学数列压轴题专项训练 1．已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且． （1）求出的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数λ的取值范围． 2． 已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，_▲_． 给出以下条件：①是与的等差中项：②，，成等比数列：③，，成等比数列，从中任选一个，先指出，再解答． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） （1）求的通项公式； （2）令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为． （3）若，，求实数的取值范围． 3．设数列 的前项和为， 且， 数列满足， 其中. （1）证明 为等差数列， 并求数列的通项公式： （2）求数列 的前项和为； （3）求使不等式 ， 对任意正整数都成立的最大实数的值. 4．已知正项数列的前项和为，且. （1）求； （2）设，数列的前项和为，证明：. 5．已知数列是公比大于0的等比数列，，.数列满足：（）. （1）求数列的通项公式； （2）证明：是等比数列； （3）证明：. 6．已知数列满足，且，数列满足且，. （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前n项和； （3）在（2）的条件下，对于实数m，存在正整数n，使得成立，求m的最小值. 7．设函数，其中. （1）若，求的最大值； （2）若存在两个零点 ①求a的取值范围； ②设为的极值点，试探究是否存在实数，使得成等差数列，若存在， 求出a的值，若不存在，请说明理由. 8．已知数列：，，…，.如果数列：，，满足，，其中，则称为的“衍生数列”. （1）若数列：，，，的“衍生数列”是：5，，7，2，求； （2）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是； （3）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…依次将数列，，，…第（）项取出，构成数列：，，…. 求证：是等差数列. 9．已知数列的首项为1，设，． （1）若为常数列，求的值； （2）若为公比为2的等比数列，求的解析式； （3）数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由． 10．设为整数．有穷数列的各项均为正整数，其项数为m（）．若满足如下两个性质，则称为数列：①，且；② （1）若为数列，且，求m； （2）若为数列，求的所有可能值； （3）若对任意的数列，均有，求d的最小值． 答案解析部分 1．【答案】（1）∵数列是首项为3，公比为3的等比数列，∴， ∴当时，， 即，∴，∴． 又也满足上式，∴数列的通项公式为； （2）由(1)，可得， ∴①， ②， 由①﹣②，得， ∴， ∴不等式可化为， 即对任意的恒成立， 令且为递增数列，即转化为． 当n＝1时，，所以， 综上，λ的取值范围是． 2．【答案】（1）解：选①，设递增等差数列的公差为， 由是与的等差中项，得，即， 则有， 化简得，即，解得， 则； 选②，设递增等差数列的公差为，由，，， 有， 化简得，即，解得， 则； 选③，设递增等差数列的公差为，由，，， 有，化简得，则， 所以，所以的通项公式为； （2）解：由是以2为首项，2为公比的等比数列，得， 由（1）知，即有， 则， 于是得， 两式相减得：， 因此； （3）解：因为， 所以不等式 ，等价于， 又，所以等价于恒成立， 令，则， 则时，，即数列递增，当时，，即数列递减， 所以当时，，则，所以实数的取值范围是． 3．【答案】（1）解：当 时，， 则， 当 时，， 即 ， 即是以为首项， 公差为 1 的等差数列， 故 （2）解：由（1）知 （3）解：， 则， 即 ， 即 对任意正整数都成立， 令 ， 则 ， 故 ， 即 随着的增大而增大， 故， 即 ，即实数的最大值为 4．【答案】（1）解：当时，，即， 由数列为正项数列可知，，又， 即数列是首项为1，公差为1的等差数列，即，则. 当时，，当时，成立， 所以. （2）解：由（1）可知，，则，当时，， ，成立，，成立，当时， ， 即.综上可知，，得证. 5．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，则， 则，所以， 又. （2）解：所以， 所以，且， 所以数列是首项为8，公比为的等比数列； （3）解：由题意知，， 所以， 所以， 设， 则， 两式相减得， 所以， 所以. 6．【答案】（1）解：因为，所以，又， 因此是首项为2，公比为的等比数列， 于是，则； 因为数列满足，所以数列为等差数列， 由于，，公差， 故 （2）解：由题意可知， 于是，则， 两式错位相减得到. 因此 （3）解：由（2）可知，， 因此是单调递增数列， 于是，因此，则实数的最小值为2. 7．【答案】（1）解： 注意到在定义域上单调递减，且可知在单调递增，在 单调递减 则的最大值为 （2）解：①因存在两个零点故不是单调函数，于是有解