2024年高考数学数列压轴题专项训练

2024年高考数学数列压轴题专项训练 1．已知数列的前项和为，，是与的等差中项. (1)求证：是等比数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求的取值范围； (3)设，且数列的前项和为，求证：. 2．已知数列的前n项和为，若，． (1)记判断是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由． (2)记，的前n项和为，求． 3．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围. 4．等差数列的首项，其前10项和，正项等比数列中，，. (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)已知，求数列的前项和. 5．若项数为的有穷数列满足：，且对任意的，或是数列中的项，则称数列具有性质． (1)判断数列是否具有性质，并说明理由； (2)设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项； (3)若数列具有性质，证明：当时，数列是等差数列． 6．已知正项数列的前n项和为，对任意，点都在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 7．已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 8．已知数列满足，． (1)记，求数列的通项公式； (2)记，为数列的前项和，求证：． 9．已知函数． (1)若函数在上只有一个零点，求的取值范围； (2)若，记数列的前项和为，证明：． 10．已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前项和为，求证：对任意的，都有. 11．已知函数． (1)当时，证明：； (2)数列的前项和为，且； （ⅰ）求； （ⅱ）求证：． 12．设数列的前项和为，且与的等差中项为. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，证明：. 13．已知数列，，…，的各项均为正整数．设集合，记的元素个数为． (1)若数列1，1，3，2，求集合，并写出的值； (2)若是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”； (3)若，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值． 14．已知递增数列的前n项和为，且满足，设，，且数列的前n项和为． (1)求证：数列为等差数列； (2)试求所有的正整数m，使得为整数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)证明见解析， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据，作差得到，即可得到，再由，即可得证，从而求出的通项公式； （2）由（1）可知，即可得到，依题意可得，即可得到，再分为奇数、偶数两种情况讨论，参变分离，分别求出参数的取值范围，即可得解； （3）首先证明，即可证明当时，，即可得证. 【详解】（1）证明：是与的等差中项， ①， 于是有②， ①②，即， ， 又，，， ，， ，即有， 又，， 是以为首项，为公比的等比数列， 所以，. （2）由（1）可知，， ，， 所以， 是递增数列，，， 当是奇数时，，即恒成立， 数列单调递增，， 当是偶数时，，即恒成立 数列单调递减，， 综上，的取值范围是. （3），， 即， 当时， . ，， 当时，，综上所述，. 2．(1)不是等差数列，证明详见解析； (2)当为偶数时，，当为奇数时，. 【分析】（1）取时可求，当时可根据与的关系求出，再验证是否满足即可判断其是否为等差数列； （2）当时，由，得，两式相减即可得，进而可以得出从第2项起的奇数项和偶数项分别成等差数列，讨论为奇数时和为偶数时分别解决. 【详解】（1）因为， 当时，，又因为，所以 当时，因为，由，得①，所以②， 所以得： ，经验证，当时不等于，所以不是等差数列. （2）由，得，两式相减得： . 所以当时： 数列（）是首项为，公差为6的等差数列； 数列（）是首项为，公差为6的等差数列. 当为偶数时，不妨设，则， 此时 因为，所以此时. 当为奇数时，不妨设，则， 此时 . 因为，所以此时 综上所述，当为偶数时，，当为奇数时，. 3．(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，再结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）可得，再分为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可. 【详解】（1）证明：因为， 所以，即， 因为，所以， 故数列是以12为首项，3为公比的等比数列， 所以，则. （2）解：由（1）知， 所以. 当为偶数时， ， 因为是单调递减的，所以. 当为奇数时， ， 又是单调递增的， 因为，所以. 要使存在，使，只需，即， 故的取值范围是. 4．(1)； (2) (3)