2024年高考数学正弦定理与余弦定理压轴题专项训练

2024年高考数学正弦定理与余弦定理压轴题专项训练 1．已知的内角所对的边分别为，且. （1）求角A的大小； （2）若点满足，且，求的最小值． 2．古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式.其中，.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式. （1）利用以上信息，证明三角形的面积公式； （2）在中，，，求面积的最大值. 3．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E为CD的中点，，， （1）证明：平面平面ABCD； （2）当点A到平面PCD的距离最大时，求侧面PAB与底面ABCD所成二面角的大小． 4．在中，内角所对的边分别为，其面积为，满足. （1）若，求的最大值； （2）若，求的最小值. 5．如图，已知直线，是，之间的一个定点，且点到，的距离分别为1，2，是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点.设，的面积为. （1）求的最小值； （2）已知，，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 6．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，. （1）若=8，，为边的中点，求中线的长度； （2）若为边上一点，且，，求的最小值. 7．在中，角的对边为，设的面积为. （1）求角的大小； （2）若，过的重心点的直线与边的交点分别为，，请计算的值. 8．后疫情时代，很多地方尝试开放夜市地摊经济，多个城市也放宽了对摆摊的限制．某商场经营者也顺应潮流准备在商场门前摆地摊．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形OMPN区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点在弧AB上，点和点分别在线段和线段上，且，．记． （1）请写出顾客的休息区域OMPN的面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，S取得最大值； （2）记，若存在最大值，求的取值范围． 9．已知的内角，，的对边长分别等于，，，列举如下五个条件： ；；；；的面积等于． （1）请在五个条件中选择一个只需选择一个能够确定角大小的条件来求角； （2）在（1）的结论的基础上，再在所给条件中选择一个只需选择一个，求周长的取值范围． 10．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，____． ①；②；③． 请在以上三个条件中任选一个补充在横线处，并解答： （1）求角C的值； （2）若且，求的值． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：由正弦定理得，， 即， 整理可得. 因为， 所以，即. 又因为，所以， 所以，即. （2）解：如图， 由可知，，即. 在中，由正弦定理可得，； 在中，由正弦定理可得，. 所以，，即 因为，所以， 所以. 又，所以. 又，所以. 由得，， 即， 整理可得，即. 所以， 当且仅当，即时，取到最小值． 2．【答案】（1）解：因为，即， 可得 ， 且，则，所以. （2）解：因为， 由题意可得，即， 整理得， 由正弦定理可得，即， 的面积 ， 因为，当且仅当时，等号成立， 则， 所以面积的最大值为. 3．【答案】（1）证明：在四棱锥中，由正方形，得，而，， 则，有，又为的中点，，于是， 而平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. （2）解：在四棱锥中，延长交于，连接，如图， 由于正方形的对角线与相交于点，为的中点，则为的中点， 有，于是是侧面与底面所成二面角，令， 由（1）知平面，而平面，则平面平面， 在平面内过作于，而平面平面，于是平面， 又平面，平面，则平面， 因此点到平面距离等于点到平面距离， 由，得，而， 在中，由余弦定理得：， 又，即有， 则，令，显然，， ，当且仅当，即时取等号， 当时，，，而，从而， 所以当点到平面距离最大时，侧面与底面所成二面角的大小为. 4．【答案】（1）解：由， 故，化简得：，所以或（舍去）， 解得，设的中点为，令，由于， 故的外接圆半径， 当为正三角形（在处）时，，故， 由于，， 所以 ， 所以的最大值为3； （2）解：方法一：由，可得， 又，当且仅当时，等号成立， 故， 当且仅当，即时取“=”号，所以的最小值为1. 方法二：由，可得，又， 所以， 故，即， 则，整理得，解得， 当且仅当，即时取“=”号，所以的最小值为1. 5．【答案】（1）解：在中，，则； 在中，，，则， ∴的面积. ∵，∴， 故当，即时，取得最大值1，此时取得最小值2. （2）解：由（1）知，， ∴. 不等式对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立. 令，则， 因为，所以，所以， 又， ∴. 令，其中， ∴，. ①当时，，即； ②当时，函数在上单调递增， ∴，即； ③当时，函数在上单调递减， ∴，即 综上，当