2024年高考数学直线和圆的方程压轴题专项训练

2024年高考数学直线和圆的方程压轴题专项训练 1．已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，过曲线与轴的负半轴的交点作两条直线分别交曲线于点（异于），且直线，的斜率之积为. （1）求曲线的方程； （2）证明：直线过定点. 2．已知半径为的圆C的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切． （1）求圆的标准方程． （2）已知，为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若点，试求的最小值. 3．已知圆C经过点，，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程. （2）过点的直线与圆C交于A，B两点，问：在直线上是否存在定点N，使得（，分别为直线AN，BN的斜率）恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 4．已知圆. （1）若圆与直线相切于点，求直线的方程； （2）已知，圆与轴相交于（点在点的左侧），过点任作一条不与坐标轴垂直的直线，该直线与圆相交于两点，问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由. 5．已知圆，圆：，圆：，这三个圆有一条公共弦. （1）当圆的面积最小时，求圆的标准方程； （2）在（1）的条件下，直线同时满足以下三个条件： （i）与直线垂直； （ii）与圆相切； （iii）在轴上的截距大于0， 若直线与圆交于，两点，求. 6．已知圆，直线，当时，直线l与圆O恰好相切． （1）求圆O的方程； （2）若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得，求实数k的取值范围． 7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点与定点的距离和D到定直线的距离的比是常数2，设动点D的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）已知定点，，过点P作垂直于x轴的直线，过点P作斜率大于0的直线与曲线C交于点G，H，其中点G在x轴上方，点H在x轴下方．曲线C与x轴负半轴交于点A，直线，与直线分别交于点M，N，若A，O，M，N四点共圆，求t的值． 8．在平面直角坐标系中，对于点，，定义为点到点的“折线距离”. （1）已知，，求； （2）已知直线. （i）求坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值； （ii）求圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值. 9．已知圆为圆上一点. （1）求的取值范围； （2）圆的圆心为，与圆相交于、两点，为圆上相异于、的点，直线分别与轴交于点、，求的最大值. 10．已知半径为的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线与圆C相切． （1）求圆C的标准方程． （2）若圆C的一条弦经过点，求这条弦的最短长度． （3）已知，P为圆C上任意一点，试问在y轴上是否存在定点B（异于点A），使得为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：设，由，得，所以， 两边平方并化简，得曲线的方程为. （2）解：由（1）得，设直线、的斜率分别为，， 如图所示， 当不垂直于轴时，设，联立， 整理得，解得（舍）或， 当时，，所以， 同理得， 所以的斜率， 因为，代入可得， 故的方程为， 即， 故过定点； 当轴时，设，则， 所以，即， 又因为，代入可得， 解得或（舍），所以（或）， 所以的方程为，过点. 综上，直线过定点 2．【答案】（1）解：由题意设圆心坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 故圆的标准方程为； （2）解：假设存在定点，设， 设，则， 则， 当，即舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点使得为定值，且点的坐标为； （3）解：由（2）知，故，从而， 当且仅当、、三点共线时，最小， 且． 所以的最小值为5. 3．【答案】（1）解：由题可知线段EF的中点为，EF的垂直平分线的斜率为5， 的垂直平分线的方程为 EF的垂直平分线与直线l的交点即为圆心C， 由，解得，即 又， 圆C的方程为 （2）解：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，则过点的直线AB的方程为，由，消去y整理得 设，，，（*） 设，则， ，， ，即， 将（*）式代入得，解得故点N的坐标为 当直线AB的斜率不存在时， 直线AB的方程为，，，显然点N可使成立 在直线上存在定点使得恒成立. 4．【答案】（1）解：由已知可得，点在圆上， 所以有，解得， 所以，圆的方程为， 化为标准方程为，圆心为，半径. 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆不相切； 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 即. 因为直线与圆相切，所以有圆心到直线的距离， 即， 整理可得，解得， 所以直线的方程为. （2）解：令，得，解得或， 所以，，. 假设存在实数， 由已知可设直线的方程为， 代入可得，. 设，， 从而. 因为 ， 又 . 因为，所以， 所以，所以. 所以，存在实数，使得.