2024年高考数学函数的运用压轴题专项训练

2024年高考数学函数的运用压轴题专项训练 1．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”． （1）请证明：函数不存在“黄金区间”． （2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值． 2．已知函数. （1）当时，解不等式； （2）若的最大值是，求的值； （3）已知，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围. 3．已知函数 （1）用单调性定义证明：在上单调递增； （2）若函数有3个零点，满足，且， ①求证：； ②求的值（表示不超过的最大整数）. 4．已知函数 （1）当时，求的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）； （2）设在区间上最大值为，求的解析式. 5．已知定义域为的函数是奇函数． （1）求实数，的值； （2）若对任意恒成立，求的取值范围． 6．已知且是上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）若不等式对恒成立，求的取值范围； （3）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，设，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 7．已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且当时，，． （1）求证： （2）求 （3）解不等式 8．设是定义域为的函数，如果对任意的，均成立，则称是“平缓函数”. （1）若，试判断是否为“平缓函数”并说明理由； （2）已知的导函数存在，判断下列命题的真假：若是“平缓函数”，则，并说明理由. （3）若函数是“平缓函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意的，均有. 9．已知函数的定义域为，当时，． （1）求的值； （2）证明：函数在上为单调减函数； （3）解不等式． 10．函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数， 可以将其推广为： 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数， 给定函数. （1）求 的对称中心； （2）已知函数 同时满足： ①是奇函数； ② 当 时，. 若对任意的， 总存在， 使得， 求实数的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】（1）证明：由为上的增函数，则有， ∴，无解，∴不存在“黄金区间”； （2）记是函数的一个“黄金区间”， 由及此时函数值域为，可知 而其对称轴为，∴在上必为增函数， 令，∴，∴ 故该函数有唯一一个“黄金区间”； （3）由在和上均为增函数， 已知在“黄金区间”上单调，所以或，且在上为单调递增， 则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根， 又，则只要，∴或， 而由韦达定理知，， 所以，其中或，所以当时，取得最大值． 2．【答案】（1）当时，， 则，解得， 故不等式的解集为. （2）当时，，不合题意； 时，设，令. ①若开口向上没有最大值，故无最大值，不合题意； ②当时，此时对称轴，函数的最大值是， 所以， 解得或(舍)， 所以. （3）当时，设， 而的对称轴， 所以当时，为增函数，故为增函数. 因为函数的定义域为时，的值域为， ， ；， 所以为方程的两根. 故有两个大于1的不同实根. 所以， 解得， 所以实数的取值范围是. 3．【答案】（1）解：，且 有， 由，得，， 所以，得， 又由，得.于是， 即.所以，函数在上单调递增. （2）解：①要使有3个零点，由（1）知，函数在 上存在一个零点，在上存在两个零点，且， 代入，得，于是， 因为，所以 ② 由，代入式，得， 令，，，且， 有， 故函数在上单调递增， 又因为，， 所以，得. 4．【答案】（1）当时，， 当时，易得单调递增； 当时，， 因为对勾函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 又当时，，所以在上单调递增， 综上，的单调递增区间为，. （2）因为， 当时，，则， 根据对勾函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时，，则，显然在上单调递增， 所以； 当时，， 当时，单调递增，故， 当时，，则， 所以，又，， 当，即时，， 当，即时，； 综上，. 5．【答案】（1）解：在上为奇函数，故，即，解得，故. 又，；解得. 故，. （2）解：； 增大时，增大，减小，减小； 在上单调递减； 为奇函数，由得，； 又在上单调递减； ，该不等式对于任意恒成立； 对任意恒成立； 设，则对于任意恒成立； 设，△； 应满足：； 解得； 的取值范围为． 6．【答案】（1）解：∵是上的奇函数，∴， 由，可得，， ∵，∴，，所以. 又，所以为奇函数. 所以. （2）解：因为，所以在上单调递增， 又为上的奇函数， 所以由，得， 所以，即恒成立， 当时，不等式为不能恒成立，故不满足题意； 当时，要满足题意，需，解得， 所以实数的取值范围为.