2024年高考数学三角函数综合压轴题专项训练

2024年高考数学三角函数综合压轴题专项训练 1．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c-a=2b，且C≠ （1）求证：B=A+ （2）求cosA+sinB+sinC的取值范围. 2．在中，角所对的边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若是锐角三角形，求的面积的取值范围． 3．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动.若点M在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知米，E为AB中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为，与的夹角为. （1）若两机器人运动方向的夹角为，AD足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍. ①若，AD足够长，机器人乙挑战成功，求. ②如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？ 4．定义：为实数，，…，对的“正弦方差”. （1）若，，，证明：实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值； （2）若，，，，，若实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值，求，值. 5．在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且三角形的外接圆半径为． （1）求C的大小； （2）若的面积为，求的值； （3）设的外接圆圆心为O，且满足，求m的值． 6．已知函数，其中，，分别求满足下列条件的函数的解析式. （1），，. （2），、是的两个相异零点，的最小值为，且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称. （3），，对任意的实数，记在区间上的最大值为，最小值为，，函数的值域为. 7．已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； （3）若函数在内恰有2023个零点，求与的值. 8．已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T. （1）判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？ （2）已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围； （3）是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论. 9．函数的部分图象如图所示.已，，，. （1）求和的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域. 10．如图，树人中学在即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，跑道由三部分组成：第一部分为曲线段，该曲线段可近似看作函数在区间上的图象，图象的最高点为；第二部分为线段；第三部分可近似看作是以O为圆心，以2为半径的扇形，其圆心角为. （1）求曲线段的解析式； （2）若新校门位于图中的B点，其离的距离为1.5千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的立德楼，求该学生走过的路的长； （3）若点P在劣弧上（不含端点），点M和点N分别在线段和线段上，，且轴.若梯形区域为学生的休息区域，记，设学生的休息区域的面积为，求的最大值及此时的值. 答案解析部分 1．【答案】（1）证明：因为， 由正弦定理得， 又因为 所以，即. 又，所以. 又， 所以或. 又，所以. （2）解：由(1)知.由，解得. 所以 又，所以， 所以的取值范围为. （别解：因为=在上单调递减， 所以，所以的取值范围为．） 2．【答案】（1）解：由正弦定理得， 可化为：， 即 又由于， 所以 可得 即， 由于，所以， 化简为，因为，则， 所以，所以 （2）解：由正弦定理知，所以， 那么 ， 又由，解得， 所以，即， 故的面积的取值范围为 3．【答案】（1）解：如图，在中， 由余弦定理得，， 所以， 所以，（当且仅当时等号成立）， 故两机器人运动路程和的最大值为6. （2）解：①在中，由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍， 故， 由正弦定理可得， 所以， ②设，则，， 由余弦定理可得， 所以， 所以， 由题意得对任意恒成立， 故，当且仅当时取到等号. 答：矩形区域ABCD的宽AD至少为2米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲. 4．【答案】（1）解：因为，，， 所以 ， 所以“正弦方差”的值是与无关的定值. （2）解：因为，，，，， 所以 ， 因为实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值， 所以， 因为，， 所以，， 由，得