2024年高考数学空间向量与立体几何压轴题专项训练

2024年高考数学空间向量与立体几何压轴题专项训练 1．如图，在四棱锥中，底面正方形，平面平面，点在线段上，平面，，． （1）求证：为的中点； （2）求二面角的大小； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 2．如图，菱形的边长为为的中点.将沿折起，使到达，连接，得到四棱锥. （1）证明：； （2）当二面角的平面角在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 3．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 4．长方形中，，M是中点（图1），将沿折起，使得（图2），在图2中 （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存点E，使得平面与的夹角为，请说明理由． 5．如图，在直三棱柱中，D，E分别是棱AB，的中点，，． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线与平面所成的角的正弦值． 条件①：；条件②：；条件③：到平面的距离为1． 6．如图，在四棱锥中，平面.为的中点，点在上，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）问：棱上是否存在一点，使点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 7．如图，在直三棱柱中，，，．，分别为棱，的中点，与交于点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求直线到平面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 8．如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由. 9．已知梯形中，，，，、分别是、上的点，，，是的中点。沿将梯形翻折，使平面平面． （1）若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值； （2）当取得最大值时，求二面角的余弦值. 10．如图，四边形与四边形是全等的矩形，. （1）若P是棱的中点，求证：平面平面； （2）若P是棱上的点，直线BP与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值. 答案解析部分 1．【答案】（1）证明：设AC，BD的交点为点E，并连接ME ∵平面且，平面平面 ∴ 又底面ABCD为正方形，所以E为BD的中点 则由中位线定理得点M位PB的中点； （2）解：取AD的中点E，连接PE，因为PA=PD，所以，又 平面平面，且平面平面， 平面所以平面，故，故如上图所示建立空间直角坐标系，， 由题意得：平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则 令，则可解得：，故，设 二面角的平面角为，由题意知则 ，所以，故的大小为； （3）解：由（2）知平面的一个法向量为：，又M为PB的中点，则点M的坐标为，，设 直线与平面所成的角为，则即 直线与平面所成角的正弦值 为 2．【答案】（1）证明：由题意证明如下， 在菱形中，为的中点，， ， 在翻折过程中，恒有， 又平面， 平面， 而平面， （2）解：由题意及（1）得， 为二面角的平面角，记其为，则， 以的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， ， 设平面的法向量，则，得 令，得， 则， 令，得 ， 当且仅当时，等号成立 设直线与平面所成角为， 则 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为 3．【答案】（1）解：取中点，连接，分别为的中点， ， 底面四边形是矩形，为棱的中点，，． ，， 故四边形是平行四边形，． 又平面，平面，平面． （2）解：假设在棱上存在点满足题意， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，则是四棱锥的高． 设，则，， ，所以 以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 故，，． 设， ． 设平面PMB的一个法向量为， 则 取． 易知平面的一个法向量为，， ， 故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意. 4．【答案】（1）解：设，所以， 所以，由于，平面， 所以平面， 由于平面，所以平面平面. （2）解：由（1）得，平面平面， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 依题意可知平面的法向量为. ， 设，则， 设平面的法向量为， 则， 故可设. 由于平面与的夹角为， 所以， 解得或（舍去）. 所以在线段上存在点，使得平面与的夹角为， 此时是线段上，靠近点的三等分点. 5．【答案】（1）取的中点为，连接. 分别是，的中点， . D是的中点， 直三棱柱， .，. 四边形为平行四边形. 又平面，平面，所以平面. （2）选择条件①：； 直三棱柱，平面，平面，， ，平面，