2024年高考数学立体几何初步压轴题专项训练

2024年高考数学立体几何初步压轴题专项训练 1．两个边长为2的正方形和各与对方所在平面垂直，、分别是对角线、上的点，且. （1）求证：平面； （2）设，，求与的函数关系式； （3）求、两点间的最短距离. 2．四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角正弦值. 3．如图①，在直角梯形中，，，.将沿折起，使平面平面，连，得如图②的几何体. （1）求证：平面平面； （2）若，二面角的平面角的正切值为，在棱上是否存在点使二面角的平面角的余弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，说明理由. 4．马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，为棚顶，是棚底地面的中心，为棚底直径，，是棚底的内接正三角形，中间的支柱米，从支柱上的点向棚底周围拉了4根绳子供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从点沿着绳子爬到点，再沿着爬到棚顶，然后从棚顶跳到中的某一根绳子上. （1）当点取在距离点米处时，证明：拉绳所在直线和平面垂直； （2）经验表明当拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把点取在什么位置. 5．如图，圆锥的底面圆上有四点，四边形是正方形，且，点在线段上，若． （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，点在劣弧上运动，记与平面所成的角为，求的最大值． 6．如图，直线平面，直线平行四边形，四棱锥的顶点在平面上，，，，，分别是与的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 7．如图，多面体 中，底面 是菱形， ，四边形 是正方形且 平面 . （1）求证： 平面 ； （2）若 ，求多面体 的体积 . 8．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为. （1）求蜂房曲顶空间的弯曲度； （2）若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设 ①用表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积； ②当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值. 9．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林、佛寺、庙宇，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）．我们可以把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成（如图2）．已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8． （1）求圆锥的母线长； （2）设为半圆弧的中点，求到平面的距离． 10．如图，在四面体ABCD中，，，，，，E，F，G分别为棱BC，AD，CD的中点，点在线段AB上. （1）若平面AEG，试确定点的位置，并说明理由； （2）求平面AEG与平面CDH的夹角的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】（1）解：过点作，交于点，连接、， 因为，所以， 由已知可得，，， 所以，，， 所以，， 所以，， 又，所以， 因为平面，，平面， 所以，平面， 同理可得，平面， 因为平面，平面，， 所以，平面平面， 因为平面，所以直线平面. （2）解：由（1）可知，，， 所以，， 所以，， 同理可得，， 又平面平面，平面平面， ，平面， 所以，平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 所以，是直角三角形， 所以， ， 即； （3）解：由，且， 所以当，即、分别为线段、中点时， 有最小值， 、两点间的最短距离为. 2．【答案】（1）证明：因为，为线段的中点， 所以， 在等腰梯形中，作于，则由得， 所以，所以， 因为，所以所以∽，所以， 所以，所以，因为，， 所以平面，因为在平面内，所以， 因为，在平面内，所以平面； （2）解：因为，，所以，， 取的中点，连接，则，因为平面，所以， 又所以平面， 所以如图，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 由（1）知平面，则平面的法向量， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 3．【答案】（1）证明：∵平面平面，平面平面，，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， ∵，，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）解：由（1）知平面，，而平面，故. ∴为二面角的平面角， 又平面，平面， ∴，， ∴，. 在①，∴， 令，则， 解得.即，. 在①中作，垂足. ① 则可得，. ∵平面平面，平面，平面平面， ∴平面， 过作，以为原点，，，分别为轴轴轴建立如图直角坐标系，则 ② ，，，. ，， 设，. 设平面的法向量为，则 ，∴，取，