2024年高考数学集合与常用逻辑用语压轴题专项训练

2024年高考数学集合与常用逻辑用语压轴题专项训练 1．设命题，不等式恒成立； 命题，使成立. （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p、q至多有一个是真命题，求实数m的取值范围. 2．若函数. （1）讨论的解集； （2）若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围. 3．设，已知由自然数组成的集合，集合，，…，是S的互不相同的非空子集，定义数表： ，其中， 设，令是，，…，中的最大值． （1）若，，且，求，，及； （2）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求n的最小值； （3）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3． 4．对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. （1）若，求； （2）若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组； （3）若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值. 5．设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，. （1）若，求函数的不动点； （2）若函数在上不存在不动点，求实数的取值范围. 6．设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． （1）当时，判断是否为U的子集，说明理由； （2）当时，若A为U的子集，求证：； （3）当时，若A为U的子集，求集合A． 7．对非空数集定义与的和集．对任意有限集A，记为集合A中元素的个数． （1）若集合，，写出集合与； （2）若集合满足，且，求． 8．已知集合，规定：集合中元素的个数为，且．若，则称集合是集合的衍生和集． （1）当，时，分别写出集合，的衍生和集； （2）当时，求集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值． 9．已知集合是集合的子集，对于，定义．任取的两个不同子集，，对任意． （1）判断是否正确？并说明理由； （2）证明：． 10．对于函数， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”；若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即 （1）设函数，求A和B； （2）请探究集合A和B的关系，并证明你的结论； （3）若，且，求实数a的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】（1）解：， ， 当且仅当，即时等号成立． 所以，即，即，解得 所以实数m的取值范围是 （2）解：当为真命题时，，解得， 当命题都是真命题，则且 ，即， 若命题至多有一个是真命题，则或， 综上，实数m的取值范围为或 2．【答案】（1）已知， ①当时，时，即； ②当时，， 若，，解得 ， 若，，解得或， 若，，解得， 若时，，解得或， 综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为. （2）若，则，， 令，原题等价于，对使得恒成立， 令，是关于的减函数， 对，恒成立， 即， 又，， 即， 故，解得或. 3．【答案】（1）解：，，，． （2）解：设使得， 则， 所以． 所以至少有3个元素个数相同的非空子集． 当时，，其非空子集只有自身，不符题意． 当时，，其非空子集只有，，，不符题意． 当时，，元素个数为1的非空子集有，，， 元素个数为2的非空子集有，，． 当时，，不符题意． 当时，，不符题意． 当时，，令，，， 则，． 所以n的最小值为4． （3）解：由题可知，，记为集合中的元素个数， 则为数表第j列之和． 因为是数表第i行之和， 所以． 因为，所以． 所以． 当，，，， ，，时，， ．所以的最小值为3． 4．【答案】（1）解：由集合知，， 所以. （2）解：因为，， 由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同， 根据定义要让取到最大值， 则只需中元素不同且7，8，9分布在3个集合中， 4，5，6，分布在3个集合中，1，2，3分布在3个集合中 这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为， 所以有一组满足题意， （3）解：要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为， 因为是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集， 不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如， 则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如， 同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如， 是集合中有个元素的非空真子集，且，例如， 所以， 解得或（舍去）， 所以n的最大值为11. 5．【答案】（1）解：根据题目给出的“不动点”的定义，可知： 当时，， 得，所以，所以， 所以函数在上的不动点为. （2）解：根据已知，得在区间上无解， 所以在上无解， 令，，所以， 即在区间上无解， 所以在区间上无解， 设，所以在区间上单调递增，