2024年高考数学不等式综合压轴题专项训练

2024年高考数学不等式综合压轴题专项训练 1．已知函数． （1）若在有零点，求实数的取值范围； （2）记的零点为，的零点为，求证：． 2．已知函数. （1）若在区间上单调递增，求的取值范围； （2）若，关于的方程有四个不同的实数根，满足，求的最小值. 3．已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若且，试比较与的大小关系； （3）令，若在R上的最小值为，求m的值 4．近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如右表所示： 设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元. 15 20 25 30 105 110 105 100 （1）求的值； （2）给出以下四种函数模型： ①；②；③；④ 请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； （3）利用问题（2）中的函数，求的最小值. 5． 设函数且． （1）解关于的不等式； （2）若恒成立，则是否存在实数，令时，恒有？若存在，求实数的范围；若不存在，请说明理由． 6．已知且，记为的最大值，记为的最大值． （1）求的值 （2）若，且对任意，恒成立，求的最大值． 7． 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速.经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示： 0 10 30 70 0 1150 2250 8050 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③. （1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆同型号电动汽车从地行驶到地，其中高速上行驶，国道上行驶，若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足，求电动汽车在两段道路上分别以怎样的速度行驶时可以使总耗电量最少？（假设在两段路上分别匀速行驶） 8． 已知定义在上的函数． （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围． 9．已知函数 （1）当时，解关于x的方程 （2）若函数是定义在R上的奇函数，求函数的解析式； （3）在(2)的前提下，函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值. 10．设函数，函数，用表示中的较大者，记为，再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知. 条件（1）： 条件（2）：恒成立. （1）求不等式的解集； （2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 答案解析部分 1．【答案】（1）解：由于函数在上单调递增，则， 故. （2）解：，故， ，又，两边取对数，得 . 同构函数，故. 在上单调递增，. 事实上，.若，则，不成立，舍去. 故 2．【答案】（1）解：由题意可知需在区间上单调递减， 所以，则 （2）解：设的两根分别为，不妨设， 则， 所以为的两个根，为的两个根， 由韦达定理得：， 所以， 所以，再由韦达定理得， 所以，所以， 所以，当且仅当时取等号成立. 所以的最小值为11. 3．【答案】（1）解：当时，函数， 不等式化为，即，解得，则， 所以不等式的解集为. （2）解：依题意， ， 由，得，又， 则，因此， 所以 （3）解：令，，则， 于是 ， 而，当且仅当，即，时取等号， 当，即时，则当时，取得最小值，，矛盾； 当，即时，则当时，取得最小值， 解得，则， 所以m的值是1. 4．【答案】（1）解：因因为第15天的日销售收入为1057元， 所以，解得. （2）解：由表中的数据知，当时间变化时，先增后减. 而函数模型①；③；④都是单调函数， 所以选择函数模型②. 由，解得，，. 所以日销售量与时间的变化关系为 （3）解：由（2）知 所以 即. 当，时，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立. 当，时，单调递减， 所以， 综上所述：当时，取得最小值，最小值为961. 5．【答案】（1）解：的定义域为， 当时，在上单调递增，因为， 所以，解得； 当时，在上单调递