2024年高考数学函数零点与方程根的关系压轴题专项训练

2024年高考数学函数零点与方程根的关系压轴题专项训练 1．已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）若关于的方程有且仅有一个实数根，求实数的取值范围. 2． 已知函数的图象与（，且）的图象关于直线对称，且的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求的取值范围； （3）若对，恒成立，求实数的取值范围． 3．设函数，其中. （1）当时，求函数的零点； （2）若对任意，恒有，求实数a的取值范围. 4．已知函数. （1）若有零点，求实数的取值范围； （2）若，函数的值域为，且，求的取值范围； （3）当时，是否存在这样的实数，使得方程在区间内有且只有一个根？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 5．已知函数． （1）当时，求的值； （2）若函数的图象与直线有三个不同的交点，直接写出实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，设三个交点的横坐标分别为，，，，若恒成立，求实数的取值范围． 6．已知函数. （1）讨论函数的零点个数； （2）已知函数，当时，关于的方程有两个实根，求证：.（注：是自然对数的底数） 7．已知为过点的指数函数，为定义域为R的奇函数. （1）求函数的解析式； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 8．已知函数过定点，且点在函数的图象上，． （1）求函数的解析式； （2）若定义在区间上的函数有零点，求整数的值； （3）设，若对于任意，都有，求的取值范围． 9． 已知函数， （1）当时，求的单调递减区间； （2）若有三个零点，且求证： ① ②. 10．已知函数. （1）若函数在区间的值域为，求的值； （2）令， ①若在上恒成立，求证：； ②若对任意实数，方程恒有三个不等的实数根，求实数的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】（1）解：由函数f(x)=ln(e2x+1)＋kx是偶函数，所以f(-x)=ln(e-2x+1)-kx，即 即，又恒成立，即恒成立 所以2k=-2，即得k=-1. （2）由(1)有，又方程可化为， 可化为，即等价于有且只有一解， 即只有一解，整理得， 令，可化为方程④在上仅有一个实根， ①当即时，此时，显然不满足题意， ②当，即时，此时恒成立， 由此可设方程④的两个实根为，及二次方程根与系数的关系可得， 此时方程④必有一正根和一负根.故时，显然满足题意， ③当，即时，要使得方程④在上仅有一个实根， 若满足，故此时方程④必有两个同号的实根，故不可能在上仅有一个实根， 则只需要满足，解得，即. 综上所述，实数m的取值范围为：. 2．【答案】（1）解：因为（，且）的图象过点， 所以，解得，所以． 又因为函数的图象与的图象关于对称，所以； （2）解：因为，即， 则解得， 所以的取值范围为； （3）解：对于，， 对，恒成立，所以． 即实数的取值范围是． 3．【答案】（1）解：因为， 当时，， 当时，令，即，此时方程，无实数解； 当时，令，即，解得； 综上，的零点为，. （2）解：因为，对任意，恒有， 当时，，显然恒有，满足题意； 当时，， 此时， （i）当，即时，， 则，解得，故； （ii）当，即时，在上单调递减， 所以，解得，故； 所以当时，恒有； 当时，， ①当时，， 因为，所以在上单调递增， 所以，解得，故； ②当时，， 因为，所以在上单调递增， 所以，显然成立，故； 所以当时，恒有； 当时，， 此时， 因为，所以在上单调递增， 所以，解得，故； 综上，，即实数a的取值范围为. 4．【答案】（1）解：当满足； 当，故； 综上，； （2）解：的值域为，可得：； ，故，. ；故 ， （3）解：当时，函数，在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递减， 所以当时在区间上单调递减， 令单调递增． 原命题等价于两个函数与的图象在区间内有唯一交点，当且仅当即时原命题成立，解得． 又，所以． （用函数单调递减解答比照给分） 5．【答案】（1）解：，，所以； （2）解：当，即时，，故； 当，即时，，故； 当，即时，无解． 当，即时，，故无解． 综上：实数的取值范围是 （3）解：由题知是的较小根，，是方程的根， 所以，，令， 设，在上单调递减， 所以时，，从而实数的取值范围． 6．【答案】（1）解：由已知函数的定义域为， 由，得， 令函数， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在单调递减， 所以， 因为， 可知函数的图象如下所示： 所以当时，函数的零点个数为0个，当或时，函数的零点个数为1个，当时，函数的零点个数为2个. （2）解：由题设方程，即， 所以， 令，得， 又在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即， 由已知，方程有两个实根， 即有两个实根，由（1）得. 令， 所以 令，所以有两个实根， 先证. 因为，令，解得，令，解得， 所以在上单